专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点） 知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等 题型2.相似三角形中的探究性问题 题型3.相似三角形中等积式的证明 题型4.相似三角形与函数的综合运用 题型5.三角形全等与相似的综合 题型6.与相似三角形有关的拓展探究 【方法三】 仿真实战法 考法. 相似三角形的判定定理 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似。 2. 会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理 知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点） 1．判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；　 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【例1】（2022秋·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【例2】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和中，， ，求证：． 【例3】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′． 知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点） 有平行截线——用平行线的性质，找“等角”  有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”  有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”  直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”  等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例” 【例4】（2022秋·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明． 【变式】（2022秋·九年级课时练习）如图，在  △ABC和 △ADE中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形. 【方法二】实例探索法 题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等 1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，BE，CD是的高，连接DE. （1）求证：； （2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：. 题型2.相似三角形中的探究性问题 2．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1． （1）请你探究：，是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值． 题型3.相似三角形中等积式的证明 3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB． （1）求证：△AOB∽△DOC； （2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC． 题型4.相似三角形与函数的综合运用 4．（2021秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E， （1）不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明； （2）设BD＝x，CE＝y，求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围； （3）当△DCE为直角三角形时，BD的长为 ． 题型5.三角形全等与相似的综合 5．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接作垂足为H，交CD于F作，交BF于 求证：； ． 6．（2023春·上海·九年级专题练习）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF