第09练 利用导数研究双变量问题【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之导数篇

第09练 利用导数研究双变量问题 【基础练】 1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：． 2．（2020秋·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 3．（2023春·山东威海·高二校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围. 4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）. （1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围； （2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． (1)求函数的极值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①证明：； ②证明：． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）. (1)求函数的极值； (2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：. 8．（2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证. 9．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：，，. 【提升练】 11．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）已知函数. (1)求在的最小值； (2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号. 12．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 13．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数． （1）若，讨论的单调性； （2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：． 14．（2021春·全国·高二期末）已知函数，函数. （1）求函数的最小值； （2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 15．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数. (1)若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得. 16．（2004·重庆·高考真题）设函数，. （1）求导数，并证明有两个不同的极值点､； （2）若不等式成立，求的取值范围. 17．（2022春·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知函数有两个零点，. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 18．（2022秋·甘肃·高二统考期中）函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：. 【能力练】 19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中，，e为自然对数的底数. (1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围； (2)若，且存在两个极值点，，求证： 20．（2022春·福建宁德·高二福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数f(x)＝x－alnx (1)求函数f(x)的极值点； (2)若方程有2个不等的实根，证明：. 21．（2022秋·天津河西·高三天津市第四中学校考期中）已知函数，，，． (1)若直线与的图象相切，求实数的值； (2)设，讨论曲线与曲线公共点的个数． (3)设，比较与的大小，并说明理由． 22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数） (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：. 23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数a的取值范围． (2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：． 24．（2023春·广西桂林·高二校考阶段练习）已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，，且，证明：. 【磨尖练】 25．（2022·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为． (1)求a、b； (2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)； (3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：． 26．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数存在两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)判断的符号，并说