2.3等腰三角形的性质定理（2）课件2023-2024学年浙教版数学八年级上册

2.3 等腰三角形的性质定理(2) 第2章 特殊三角形 浙教版 八年级上册 学习目标 学习目标 (1)掌握等腰三角形的性质定理2:等腰三角形三线合一. (2)会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、计算. (3)等腰三角形的性质定理1和2的综合应用. 课前复习 【1】等腰三角形性质定理1: 等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成在同一个三角形中,等边对等角. AB=AC(已知) ∵ ∴ ∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等) 几何语言: 【2】等腰三角形性质定理1的推论: 等边三角形的各个内角都等于60° 探索新知 已知:如图,在ΔABC中,AB=AC,AD是顶角平分线. 求证:BD=DC. A B C D ∴ △ABC ≌△DEF AB=AC(已知) AD=AD(公共边) (SAS) 证明:在△ABD和△ACD中 ∵ ∠BAD=∠CAD(角平分线的定义) ∴ BD=DC(全等三角形的对应边相等) 【结论1】等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线互相重合. 探索新知 已知:如图,在ΔABC中,AB=AC,AD是顶角平分线. 求证:AD⟂BC. A B C D ∴ △ABC ≌△DEF AB=AC(已知) AD=AD(公共边) (SAS) 证明:在△ABD和△ACD中 ∵ ∠BAD=∠CAD(角平分线的定义) ∴ ∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应边相等) 【结论2】等腰三角形的顶角平分线和底边上的高线互相重合. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°(平角的定义) ∴ ∠ADB=180°÷2=90° ∴ AD⟂BC(垂直的定义) 新知学习 【新知】等腰三角形性质定理2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合. 简称:等腰三角形三线合一. AB=AC且∠BAD=∠CAD (1)∵ ∴ BD=DC,AD⟂BC(等腰三角形三线合一) 几何语言: A B C D AB=AC且BD=DC (2)∵ ∴ ∠BAD=∠CAD,AD⟂BC(等腰三角形三线合一) AB=AC且AD⟂BC (3)∵ ∴ ∠BAD=∠CAD,BD=DC(等腰三角形三线合一) 例题探究 证明:如图,延长AD,交AB于点E. ∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义) 又∵AD=AD(公共边) 【例1】已知:如图,AB=AC,AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC.求证:AD⟂BC. A B C D ∵ AD平分∠BAC, ∠ADB=∠ADC(已知) ∴ △ADB ≌△ADC (ASA) ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等) 又∵ AD平分∠BAC(已知) ∴ AE⟂BC(等腰三角形三线合一) 即AD⟂BC. E 学以致用 【练习1】如图,已知D,E在△ABC的边BC上,且AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE. 【解析】如图,过点A作AH⊥BC于点H.∵AB=AC,AH⊥BC, ∴BH=HC(等腰三角形三线合一).同理,DH=HE.∴BH-DH=HC-HE, 即BD=CE. H 例题探究 【例2】已知线段a,h,如图所示,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边BC边上的高线长为h. a h A B C D l 作法:如图. 1.作线段BC=a; 2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D; 3.在直线l上截取DA=h,连结AB,AC. △ABC就是所求的等腰三角形. 学以致用 【练习2】已知:线段a和∠α.求作:△ABC,使AB=BC=a,∠B=∠α(保留作图痕迹,不写作法). 【解】如图,△ABC就是所求作的图形. 课内练习 【1】如图,在等腰三角形ABC中,CH是底边上的高线,P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP并延长交BC于点E,连结BP并延长交AC于点F.求证:(1)∠CAE=∠CBF.(2)AE=BF. 【解析】(1)∵△ABC是等腰三角形,CH是底边上的高线,∴CA=CB,∠ACP=∠BCP.又∵PC=PC, ∴△ACP≌△BCP(SAS). ∴∠CAE=∠CBF. 课内练习 【2】如图,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD,连结DE.(1)BD与DE有什么数量关系?请说明理由.(2)把“BD是AC边上的中线”改成什么条件,仍能得到同样的结论? E (2)BD是AC边上的高线或BD平分∠ABC,仍能得到同样的结论. 课内练习 【3】已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且HE=CE.求证:AH=2BD. 【解析】证明:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD.∵AD、BE是高,∴∠ADC=90°,∠AEH=∠BEC=90°.∴∠HAE+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°.∴∠HAE=∠CBE.在△AHE和△BCE中,∠HAE=∠CBE,∠AEH=∠BE