第2.1讲 等式与不等式性质-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第2.1讲 等式与不等式性质 一、学习目标 1．理解恒等式和不等式的意义，掌握等式和不等式的性质，培养逻辑推理素养． 2．掌握不等式的性质，了解综合法、分析法与反证法，并能证明简单的不等式． 二、核心知识 　等式的性质、恒等式 1．等式的性质 (1)若a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)若a＝b，则对任意c≠0，都有ac＝bc. 2．一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．“十字相乘法”因式分解 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)． 如图，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． D＝ab，a＋b＝C. 　不等式的性质 不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 性质1 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 性质2 可乘性 如果c＞0，a＞b⇔ac＞bc c的符号 性质3 可乘性 如果c＜0，a＞b⇔ac＜bc 性质4 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 性质5 对称性 a>b⇔b<a 可逆 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向，不可逆 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd 同向，同正不可逆 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1) 同正，不可逆 推论5 可开方性 a＞b＞0⇔＞ 同正，可逆 1.注意不等式性质成立的前提条件，如推论2只要求同向即可，推论3不仅同向而且同正． 2．注意不等式性质的等价性．有些性质是单向，如推论2，a＞b，c＞d是a＋c＞b＋d的充分不必要条件．有些性质是双向的，如性质3，如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的充要条件． 　综合法、分析法、反证法 证明问题的常用方法 方法 定义 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 分析法 从要证明的结论出发、逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法. 三、核心例题 题型1 不等式基本性质 1．如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．若实数，，满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果，则正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd 题型训练1 6．若，且，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设，，当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 比较大小 11．设，则（   ） A． B． C． D． 12．已知,,则M,N的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 13．已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A元，1枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 15．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 题型3 不等式应用 16．设，比较与的大小 17．（1）已知，，求证：． （2）比较与的大小． 18．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定. （1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求