专题01 空间向量的线性运算（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量的线性运算（考点清单） 目录 一、思维导图 2 二、知识回顾 2 考点清单01 空间向量有关概念 4 【考试题型1】空间向量有关概念 4 【考试题型2】空间向量的线性运算 4 考点清单02 空间向量数量积的运算 5 【考试题型1】空间向量数量积的运算 5 【考试题型2】利用数量积求夹角 6 【考试题型3】利用空间向量数量积求两点间距离 8 【考试题型4】最值问题 9 考点清单03 空间向量共面、共线充要条件 9 【考试题型1】共线、共面问题 9 一、思维导图 二、知识回顾 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 01 空间向量有关概念 【考试题型1】空间向量有关概念 【解题方法】掌握向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决的关键 【典例1】（2021秋·高二课时练习）给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 【典例2】（2024秋·高二课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）零向量没有方向( ) （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) （3）空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向( ) （4）若， 则( ) （5）若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同( ) 【专训1-1】（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 【考试题型2】空间向量的线性运算 【解题方法】空间向量加法、减法运算技巧或者利用数乘进行向量表示 【典例1】（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·浙江·高二长兴县华盛高级中学校联考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【专训1-1】（2023·全国·高二专题练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【专训1-2】（2023秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ） A． B． C． D． 02 空间向量数量积的运算 【考试题型1】空间向量数量积的运算 【解题方法】利用向量的运算律将数量积展开并转化为已知模和夹角的向量的数量积 【典例1】（