专题2.2 基本不等式（基础题型）-【题型分层练】2023-2024学年高一数学知识梳理与题型分层精练（基础题型+强化题型）（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式 知识梳理 1.基本不等式 ∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。特别地,如果a>0,b>0,我们用,分别代替上式中的a,b,可得≤,当且仅当a=b时,等号成立。通常称此不等式为基本不等式,其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数。 2.基本不等式表明 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.基本不等式与最值 已知x,y都为正数,则 (1)若积xy=P(P为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2。 (2)若和x+y=S(S为定值),则当x=y时,积xy取得最大值。 例题精讲 对重要不等式的理解 下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D．a2+b2≥﹣2ab 若a＞1，b＞1，且a≠b，则中的最大值是（　　） A．a2+b2 B．2ab C．a+b D． 下列选项正确的是（　　） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，AB是圆O的直径，点O为圆心，点C是线段AB上的一点，且AC＝m，BC＝n．过点C作垂直于AB的半弦DC，连接DA，DB，DO，过点C作CE垂直DO于点E，则根据该图形我们可以完成的无字证明有（　　） ①m2+n2≥2mn（m＞0，n＞0） ② ③ ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 基本不等式的应用 若x＞0，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 函数在（0，+∞）上的最小值是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 函数在[0，+∞）上的最小值是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 当x＞a时，的最小值为10，则a＝（　　） A．1 B． C．2 D．4 若x＞0，y＞0，x+3y＝1，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 已知正数x，y满足，则的最小值为（　　） A．5 B． C．4 D． 若a＞0，b＞0且a+b＝6，则ab的最大值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则的最小值是（　　） A．9 B．10 C． D． 已知正实数x，y满足，则2xy﹣2x﹣y的最小值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．9 若x＞0，y＞0且xy＝x+4y+5，则xy的最小值为（　　） A．1 B．5 C．25 D．12 已知x∈（0，1），则的最小值为（　　） A．6 B． C． D．4 设x＞0，y＞0，且xy＝4，求的最小值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 已知a＞1，b＞2，（a﹣1）•（b﹣2）＝2，则a+b的最小值为（　　） A． B． C． D． 若a，b＞0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（　　） A．ab≤1 B．ab≥9 C．ab≥3 D．1≤ab≤9 已知x＞0，y＞0，x+y＝1，则的最小值为（　　） A．7 B． C． D． 已知正实数a，b满足，则的最小值为（　　） A．6 B．5 C．12 D．10 已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最小值为（　　） A． B．12 C． D．16 已知a＞1，b＞2 （1）若（a﹣1）（b﹣2）＝4，求的最小值及此时a，b的值； （2）若2a+b＝6，求的最小值及此时a，b的值； （3）若，求的最小值及此时a，b的值． 基本不等式的证明 已知x，y，z都是正数，求证：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz． （1）求函数y（x＞﹣1）的最小值； （2）已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+y+z＝6．求证：xy+yz+xz≤12． 基本不等式应用 如图，用一段长为120米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（　　）平方米． A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由． 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w＝kx2，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． （1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行