专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（基础题型）-【题型分层练】2023-2024学年高一数学知识梳理与题型分层精练（基础题型+强化题型）（人教A版2019必修第一册）

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理 1.一元二次不等式的概念及形式 (1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。 (2)一般形式: ①ax2+bx+c>0(a,b,c均为常数,a≠0); ②ax2+bx+c≥0(a,b,c均为常数,a≠0); ③ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0); ④ax2+bx+c≤0(a,b,c均为常数,a≠0)。 (3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。 2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} xx≠- R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 例题精讲 一元二次不等式与分式不等式的解法 解下列不等式． （1）； （2）． 解下列不等式． （1）； （2）． 含参数的一元二次不等式的解法 已知关于x的一元二次不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．4＜a≤5 D．4≤a＜5 解关于x的不等式：ax2﹣x+1﹣a≤0（其中a≤0）． 解关于x的不等式x2﹣（a+3）x+3a＜0，a∈R． 当k为何值时，不等式（k﹣5）x2﹣（5﹣k）x﹣k+10＞0，对一切实数都成立． 关于x的不等式：ax2+（3﹣a）x﹣2a﹣6＞0． （1）当a＝1时，解关于x的不等式； （2）当a∈R时，解关于x的不等式． 三个“二次”之间的关系 已知一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则的最大值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 若x2﹣（a+1）x+b＜0的解集是{x|﹣5＜x＜2}，则a+b等于（　　） A．﹣14 B．﹣6 C．6 D．14 关于实数x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），则不等式a（x2+1）+b（x+1）+c＜3ax的解集为（　　） A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞） 已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集为（　　） A．{x|x≤﹣3或x≥﹣2} B．{x|﹣3≤x≤﹣2} C．{x|2≤x≤3} D．{x|x≤2或x≥3} 一元二次不等式恒成立问题 关于x的不等式mx2+2mx+1＜0的解集为空集，则m的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1] D．[0，1） “关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是（　　） A．0＜a＜1 B．0≤a＜1 C． D．0＜a＜0.9 若不等式mx2+mx﹣4＜2x2+2x﹣1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣10，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|a≥﹣2} B．{a|a≤﹣2} C．{a|a≥﹣6} D．{a|a≤﹣6} 已知关于x的不等式mx2﹣6x+3m＜0在（0，2]上有解，则实数m的取值范围（　　） A． B． C． D． 关于x的不等式的解集为R，则k的取值范围是（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣3，0] C．[﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞） 已知关于x的不等式ax2﹣ax﹣4＜0． （1）若不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}，求a的值； （2）若不等式的解集为R，求a的取值范围． 已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． （1）求a、b的值； （2）m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为R； （3）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0． 综合运用 （多选）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　） A．不等式ax2+bx+c＞0的解集不可能是{x|x≠2} B．不等式ax2+bx+c＞0的解集可以是R C．不等式ax2+bx+c＞0的解集可以是∅ D．不等式ax2+bx+c＞0的解集可以是{x|2＜x＜3} （多选）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜1或x