第10讲 圆锥曲线中定值问题的七种类型-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第10讲 圆锥曲线中定值问题的七种类型 考法呈现 题型一：和斜率有关的定值问题 例题分析 【例1】 已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值. 求定值问题常见类型以及解题策略： (1)常见类型： ①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再化简，即可得出定值； ②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条件化简，即可证明； ③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值，写出各量的目标函数解析式，再做消参处理即可． (2)常用策略： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 变式训练 【变式1-1】椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积. 【变式1-2】如图，椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上的动点且在第一象限内，线段与椭圆交于点（异于点），直线与直线交于点，为坐标原点，连接，且直线与的斜率之积为．    (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足. (1)记点的运动轨迹为，求的方程； (2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：. 题型二：和面积有关的定值问题 例题分析 【例2】已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8． (1)求的方程； (2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 变式训练 【变式2-1】已知双曲线，渐近线方程为，点在上；    (1)求双曲线的方程； (2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值. 【变式2-2】已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍． (1)求实数a和b的值； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2-3】已知椭圆，椭圆．点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围． 题型三：和周长有关的定值问题 例题分析 【例3】已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q． (1)求点Q的轨迹方程； (2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【变式3-1】已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为. (1)若为直角三角形，求的离心率； (2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由； (3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由. 【变式3-2】已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值. 题型四：和线段有关的定值问题 例题分析 【例4】如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值． 【变式4-1】已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为． (1)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围； (2)过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作