第09讲 圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第09讲 圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题 考法呈现 题型一：定点问题 考法一：直线过定点 例题分析 【例1】 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标. 直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明． 变式训练 【变式1-1】已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点． 【变式1-2】已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上. (1)求双曲线C的方程； (2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点. 【变式1-3】已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q. (1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点． 考法二：存在定点满足某条件 例题分析 【例2】已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点. (1)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 定点满足某条件： (1)设出该点坐标； (2)把满足的条件当做已知条件，结合其他条件求出点的坐标。 变式训练 【变式2-1】已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式2-2】已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【变式2-3】已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上. (1)求的方程； (2)设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 考法三：圆过定点问题 例题分析 【例3】已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 圆锥曲线中圆过定点问题的解法： 充分利用圆的几何特征，即圆过定点，可依据直径所对圆周角为直角，转化为两条线段的垂直，进而转化为两个向量垂直，即两向量的数量积等于0，从而建立方程求解. 变式训练 【变式3-1】知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且. (1)求的方程； (2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点. 【变式3-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8. (1)求C的方程； (2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点. 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为. (1)求C的方程； (2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点. 题型二：定直线问题 例题分析 【例4】已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 动点在定直线上问题的解题策略： ①从特殊入手，初步确定动点所在的直线，再证明一般情况下也在该定直线上即可； ②从动点的坐标入手，直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到动点的横纵坐标关系，进而得出定直线方程． 变式训练 【变式4-1】已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为. (1)求的标准方程； (2)直线，且交于点，，直线与交于点. 证明：