专题13.1 轴对称的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题13.1 轴对称的几何综合 【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【思路点拨】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【解题过程】 （1）解：作图如下： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，求的最小值．    2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形的对角线、相交于点，若为等边三角形，，． （1）求证：垂直平分； （2）求的长； （3）若点为的中点，请在上找出一点，使取得最小值；的最小值为______（直接写出结果）． 3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．    4．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）等边的边长为1，是度的等腰三角形，延长至E，使，连接，以D为顶点做等边，两边分别交于M、N    ①图中有两个三角形可以相互旋转得到吗？若有指出这两个三角形，并指出旋转中心及旋转角的度数． ②图中有成轴对称图形的两个三角形吗？若有，指出对称轴． ③求的周长． 5．（2022秋·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）如图，等腰三角形的周长是21cm，底边． （1）求的长； （2）若N是的中点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动．同时点Q从点C出发向点A运动，当与全等时，求点Q的速度． （3）点分别是上的动点，当的周长取最小值时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    （1）求证：； （2）若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． （1）求证：； （2）点关于直线的对称点为，连接，． ①补全图形并证明； ②试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为___________． 8．（2022秋·北京海淀·八年级101中学校考期中）在等边外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点． （1）如图1，若，则_________； （2）如图2，若，请补全图形，判断由线段，，可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由． 9．（2022秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）如图2，点为边上点，连接，且． ①证明：； ②若，点为线段上动点，若，求的最大值． 11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）阅读下面材料： 小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为的边的中点，