2.1等式性质与不等式性质讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 1、关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么。反过来也对。 这个基本事实可以表示为：；；； 2、重要不等式： 又当且仅当时，∴当且仅当时， 3、重要不等式的变形： ①（或）； ②，即（或或） ③，即（或） 4、等式的基本性质： 性质1：如果，那么； 性质2：如果，，那么 性质3：如果，那么； 性质4：如果，那么； 性质5：如果，，那么。 5、两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ① 两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言： ② 两个同号实数相乘，积是正数 符号语言： ③ 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④ 任何实数的平方为非负数，的平方为 符号语言：。 6、不等式的性质： 性质1（对称性）：如果，那么；如果，那么。即 性质2（传递性）：如果，，那么。即， 性质3（可加性）：如果，那么；如果，那么。 性质4（可乘性）：如果，，那么；如果，那么。 性质5（同向可加性）：如果，，那么。 性质6（同向同正可乘性）：如果，，那么。 性质7（可乘方性）：如果，那么。 性质8：如果，那么。 7、作差法： 任意两个代数式，可以作差后比较与的关系，进一步比较与的大小. ；； 。 8、作商法： 任意两个值为正的代数式，可以作商后比较与的关系，进一步比较与的大小. 9、中间量法： 若两个代数式不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与作比较，若满足且，则。第三个量就是中间量。这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性。一般选择或为中间量，主要适用于指数和对数。 【题型1】不等式性质的应用 1．（2021秋•吕梁期末）已知a＞b＞0，则（　　） A．ac2＞bc2 B．a2＞ab＞b2 C． D．的取值范围是[2，+∞） 2．（2022秋•徐汇区期末）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ab＞b2 3．（2022秋•上饶期末）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（　　） A．|a|＞﹣b B． C． D． 4．（2023•丰台区一模）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　） A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a﹣c＞b﹣c 5．（2022秋•宁波期中）已知a＞1＞b＞﹣1＞c，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a﹣c＜2b B．ab＞bc C．ac﹣a＜bc﹣b D． 6．（2022秋•荔湾区校级期末）已知a＞b＞c＞0，则（　　） A．2a＜b+c B．a（b﹣c）＞b（a﹣c） C． D．（a﹣c）3＞（b﹣c）3 7．（2021秋•益阳期末）若a＞b＞0，c∈R，则下列结论成立的是（　　） A．c﹣a＞c﹣b B．ac2＞bc2 C． D． 8．（2023春•南开区校级期末）已知a＞b＞c＞d＞0，则下列结论不正确的是（　　） A．a+c＞b+d B．ac＞bd C． D． 9．（2021秋•连江县期中）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　） A．c2＞cd B．a+d＜b+c C．ad＜bc D． 【题型2】利用不等式的性质求范围 1．（2021秋•普宁市校级期中）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a+b的取值范围为（　　） A．﹣2≤a+b≤6 B．﹣3≤a+b≤6 C．﹣1≤a+b≤7 D．﹣2≤a+b≤7 2．（2021秋•镇海区校级月考）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围为（　　） A．﹣3≤a﹣b≤2 B．﹣3≤a﹣b≤6 C．﹣2≤a﹣b≤7 D．﹣2≤a﹣b≤﹣1 3．（2022秋•安徽期中）若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　） A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4 4．（2021秋•焦作期中）已知﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A．1＜＜3 B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜1 5．（2022春•沈河区校级期末）已知实数a，b满足1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤1，则4a+2b的取值范围是（　　） A．0≤4a+2b≤10 B．2≤4a+2b≤10 C．0≤4a+2b≤12 D．2≤4a+2b≤12 【题型3】作差法 1．（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无