专题05 手拉手旋转模型（全等模型精讲精练）-2023-2024学年八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

专题05 手拉手旋转模型 【基本模型】 应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。 【例题精讲】 例1．（基本模型1）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 例2．（基本模型2）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 例3．（作辅助线方法1）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 例4．（作辅助线2）点为外一点，，． (1)如图1，，，求证：； (2)如图2，若，，，求证：； 例5．（最值问题）在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为 ． 例6．（培优综合）如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F． （1）求证：∠EAD＝∠CBD； （2）求证：BF＝2AE； （3）如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系． 【变式训练】 1．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 2．已知，在中，，，点D为BC的中点． （1）观察猜想 如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________． （2）类比探究 如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由； （3）解决问题 如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积． 3．有如下一道作业题： 如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF． 求证：△BCE≌△DCF． （1）请你完成这道题的证明： （2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC． ①求证：∠BFC＝45°． ②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF． 4．（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【课后训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为，则线段CD的长度为 ． 2．如图，是边长为5的等边三角形，，．E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为 ． 3．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为 ． 4．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在