专题01 截长补短模型（全等模型精讲精练）-2023-2024学年八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

专题01 截长补短模型 【基本模型】 【例题精讲】 例1．（基本模型）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 例2．（培优1）如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 例3．（培优2）思维探索： 在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°． （1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是　 　； （2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长； 拓展提升： 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度． 例4．（培优3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°） （1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______； （2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK； 【变式训练】 1．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 2．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证： 3．如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）； （2）． 4．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点． 　　　　　 （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 【课后训练】 1．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    2．如图，，，平分，且是中点试问：、和之间有何关系？并说明理由. 3．如图，在中，，、分别平分、，、交于点，求证：. 4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明． 5．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：；②求的长． 6．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，． 求证：． 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点． 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、． （1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：． 7．如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 8．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）. 9．如图，四边形为矩形，为对角线上一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，当时，求证：． 原创精品资源学科网独家享