专题05 手拉手模型（旋转模型）（相似模型精讲精练)-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题05 手拉手模型（旋转模型） 【基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例题精讲】 例1．（基本模型）观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 例2．（作辅助线）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 例3．（培优综合）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 例4．（与函数综合）发现规律： （1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数 （2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数 应用结论： （3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值 例5．（培优综合2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【变式训练】 1．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为 ．（用含k的式子表示） 2．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 3.【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 4．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【课后训练】 1．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为 ． 2．如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度 3.（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB． ①的值为_________； ②直线与直线的位置关系为__________； （2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长． 4．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且． （1）求的值． （2）求证：． （3）作射线与射线交于点，若，，求的长． 5．在△ABC中，AB＝AC，∠BA