专题01 勾股定理（考点清单）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题01 勾股定理（考点清单） 思维导图 考点一 探索勾股定理 【考试题型1】用勾股定理解直角三角形 【典例1】（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，于点，，，求的长．    【专训1-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【专训1-2】 （2023春·山东济南·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点E，将折叠，使点A落在上，记为点F，求的长．    【考试题型2】勾股树问题 【典例2】（2021春·广东东莞·八年级光正实验学校校考阶段练习）下列各组数为勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．8，15，16 C．，6， D．5，12，13 【专训2-1】（2020秋·贵州贵阳·八年级校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中原有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是2，则A、B、C、D、E、F、G这七个正方形面积之和是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【专训2-2】（2023秋·全国·八年级专题练习）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ． 【考试题型3】勾股定理与网格问题 【典例3】（2023秋·山西运城·八年级统考期中）图1、图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的正方形．    【专训3-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．    (1)在图a中画一个面积为24，周长为24的直角； (2)在图b中画出一个斜边为的等腰直角，并直接写出三角形的周长． 【专训3-2】（2023春·山西吕梁·八年级校联考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．    (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，这个三角形的面积为______． 【考试题型4】勾股定理与折叠问题 【典例4】（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【专训4-1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为 ． 【专训4-2】（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，中，，，，将沿折叠，使落在斜边上且与重合，则 ． 【考试题型5】利用勾股定理证明线段和差关系 【典例5】（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【专训5-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 【专训5-2】（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 考点二 一定是直角三角形吗 【考试题型1】勾股定理的证明方法 【典例1】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．      (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③； (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式　 　；结合结论②和结论③，可以得到一个等式　 　；