专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合与常用逻辑用语 一、集合的表示法 ①列举法： . ②描述法： . ③区间法： . ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 二、集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，用表示. 三、集合间的基本关系 1.子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 四、集合的基本运算 1.交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3）， 补集 （1） （2） 2.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B． 3.集合中元素的个数： 五、常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. 六、充分条件与必要条件 1．如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 2．如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 3．如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 七、充要条件 1.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. 2．如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件 八、全称命题及其否定 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题 2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x). 3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 4.全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). 九、存在量词（特称）命题及其否定 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词（特称）命题. 2．存在量词（特称）命题的表述形式：存在M中的一个x，使p(x)成立，可简记为，∃x∈M，p(x). 3．常用的存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 4.存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 题型一 集合的基本概念 【典例1】（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）集合还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】(2018课标II理2)已知集合，则中元素的个数为 （ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【规律方法】 与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 题型二：集合间的基本关系 【典例3】（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 【典例4】（2022·北京·101中学高一阶段练习）已知集合满足，则满足要求的的个数是______． 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． 题型三 集合的基本运算问题 【典例5】（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例7】（2023·全国·统考高考真题）设集合，集