考点12 圆的有关性质中的9大高频考点归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点12 圆的有关性质中的9大高频考点归类 1 圆的基础 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2 弦、弧、弦心距 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。 3 垂径定理和常见辅助线的做法 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）： （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 4 圆心角及其定理． 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 5 圆周角概念 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 6 圆周角定理及其推论 1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC 3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法 通常是补全弧所在圆的圆心，构造直角三角形，利用勾股定理求出圆的半径，进而判断船或车的宽度或高度是否在允许通过的范围内.若在范围内，则可以通过；否则，不能通过。 8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法： 先要根据条件灵活地对等弧、等弦或等圆心角进行转化，再利用等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的性质等求解或证明 9 圆内接四边形 1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 注：圆内接四边形的对角互补是证明两角互补的一个常用依据，而互补关系又是证明角相等及直线位置关系的一个桥梁，这是解决圆内接四边形问题常用的方法。 考点1 圆的基础 考点2 弦、弧、弦心距 考点3 垂径定理和常见辅助线的做法 考点4 圆心角及其定理． 考点5 圆周角概念 考点6 圆周角定理及其推论 考点7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法 考点8在同圆或等圆中