考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类 1 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才称为切点； (2)判断直线和圆的位置关系，可以通过公共点的个数判断，若不知道公共点的个数，就需要转化为比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交 2 切线的判定定理和辅助线的作法 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 作辅助线判定圆的切线的常用方法： ①有交点，连半径，证重直；②无交点，作垂直，证半径。 利用圆的切线的判定定理判定切线时，把握两个要素：一是经过半径的外端点，二是垂直于这条半径.这两者缺一不可。 3 切线的性质定理 （1）圆的切线垂直于过切点的半径. （2）切线的主要性质： A切线和圆只有一个公共点； B圆心到切线的距离等于圆的半径； C切线垂直于过切点的半径； D经过圆心垂直于切线的直线必过切点； E经过切点垂直于切线的直线必过圆心 切线的性质C、D、E可归纳如下： 对于如下三个结论：①过圆心，②过切点，③垂直于切线，若直线满足这三个结论中的任意两个，便可得到第三个结论。 注：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线与圆可能相切也可能相交。 4 切线长定理进行几何计算或证明的方法 1.切线长 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 注：(1)圆的切线一般指的是直线，而切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长度； (2) 切线长定理可以通过判定直角三角形全等的判定定理“HL”进行证明。 (3) 利用切线长定理进行几何计算或证明：先构建切线长定理的基本图形，再利用切线长相等这一性质进行等量转化，或利用切线长定理中所隐含的等腰三角形、垂直平分线等条件来进行计算或证明. 5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系的求法 设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,r为其内切圆的半径长，若利用切线长定理推导，则r=(a+b-c)/2;若利用等面积法推导，则 r= .这两个结论可在做选择题和填空题时直接运用. 6 三角形内切圆 概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 内心和外心的区别： 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。 性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。 性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。 直角三角形三边和内切圆半径之间的关系： 7 圆的综合问题 考点1 直线与圆的位置关系的判断方法 考点2 切线的判定定理和辅助线的作法 考点3 切线的性质定理 考点4 切线长定理进行几何计算或证明的方法 考点5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 考点6 三角形内切圆 考点7 圆的综合问题 考点1 直线与圆的位置关系的判断方法 1．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能 3．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（　　） A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m 5．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（    ）． A．4.5 B．5.5 C．6 D．7 考点2 切线的判定定理和辅助线的作法 6．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆