专题07 二次函数对称轴与区间最值问题-2023-2024学年九年级数学上册提优专题及提优测试卷（苏科版）

专题7 二次函数对称轴与区间最值问题（原卷版） 类型一 对称轴确定，区间范围也确定 1．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022秋•海淀区期中）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值． 类型二 对称轴确定，区间范围变动 3．（2023•官渡区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D及与y轴的交点C都在直线y＝x+1上，对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）若在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值； 4．（2021秋•诸暨市校级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）． （1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　； （2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 5．（2023•路北区二模）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C：y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3． （1）若抛物线C的图象经过点（3，1）． ①写出C的对称轴，并求a的值及C与y轴的交点坐标； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． ​ 类型三 区间范围确定 对称轴变动 6．（2023•内黄县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m2﹣2m． （1）若抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点时，求抛物线的解析式； （2）若点M（2，yM），N（3，yN）在抛物线上，且yM＞yN，请求出m的取值范围； （3）当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值． 类型四 对称轴变动，范围区间也变动 7．（2021秋•信都区期末）已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点． （1）若抛物线经过原点，求m的值； （2）若点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，求C点的坐标； （3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 8．（2022•五华区一模）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差； （3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 二次函数对称轴与区间最值问题（解析版） 类型一 对称轴确定，区间范围也确定 1．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引领】根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝﹣1时，y最小值＝﹣3+c，当x＝1时，y最大值＝c+1，从而求得结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0， ∴当x＝1时，二次函数有最大值为c+1， ∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|， ∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝﹣3+c， ∴函数的最大值与最小值的差为c+1﹣（﹣3+c）＝4． 故选：D． 【总结提升】本题考查了二次函数对称轴的求解，二次函数的最值问题，求得二次函数的对称轴是解题的关键． 2．（2022秋•海淀区期中）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值． 【思路引领】（1）利用判别式的意义得到△＝m2﹣4（m﹣1）＝0，然后解方程求出m得到该二次函数的解析式； （2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2，当0≤x≤3时，利用二次函数的性质得到x＝1，y有最小值0；x＝3，y有最大值，把x＝3代入解析式可得到y的最大值． 【解答】解：（1）由题意二次函数图象与x轴只有一个公共点． 则方程x2﹣mx+m﹣1＝0有两个相等的实数解， 所以△＝m2﹣4（m﹣1）＝0． 解得m＝2； 所以