第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.4　均值不等式及其应用

[教材梳理]

导学1　均值不等式

　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？

[提示]　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立．

　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？

[提示]　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤.

◎结论形成

导学2　利用均值不等式求最值

　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？

[提示]　x＋y＝8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大．

　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？

[提示]　xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小．

◎结论形成

用均值不等式求最值

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(2)当a>0，b>0时a＋b≥2.(　　)

(3)当a>0，b>0时ab≤.(　　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是(　　)

A．a＋>2　　　　 B．a＋≥2

C．a＋≤－2    D．≥2

解析　法一　当a<0时，a＋<0，选项A，B不成立；当a>0时，a＋>0，选项C不成立；＝|a|＋，由基本不等式可得选项D成立．

法二　取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A，B不正确；

取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确；

因为a，同号，＝|a|＋≥2，

当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确．

答案　D

3．已知x>0，若x＋的值最小，则x为(　　)

A．18    B．9

C．3    D．16

解析　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝⇒x＝9时，等号成立．

答案　B

4．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)

A．9    B．18

C．36    D．81

解析　因为x>0，y>0，x＋y＝18，

所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立．即的最大值是9.

答案　A

第1课时　均值不等式

题型一　对均值不等式的理解

　下列命题正确的是(　　)

A．当a，b∈R时，＋≥2＝2

B．若a<0，b<0，则≤ab

C．当a>2时，a＋的最小值是6

D．当a>0，b>0时，≥

[解析]　A中，可能<0，所以不正确；

B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确；