第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.4　均值不等式及其应用 学业标准 素养目标 1.会推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义． 2．掌握均值不等式，明确等号成立的条件及利用均值不等式求最值．(重点) 3．会用均值不等式证明不等式．(难点) 1.通过均值不等式的推导，培养学生直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过均值不等式的应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　均值不等式 　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ [提示]　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ [提示]　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. ◎结论形成 算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当__a＝b__时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，__正方形__的面积最大 导学2　利用均值不等式求最值 　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ [提示]　x＋y＝8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大． 　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ [提示]　xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小． ◎结论形成 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最__大__值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当__x＝y__时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最__小__值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当__x＝y__时，和x＋y有最小值2. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)当a>0，b>0时a＋b≥2.(　　) (3)当a>0，b>0时ab≤.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是(　　) A．a＋>2　　　　 B．a＋≥2 C．a＋≤－2 D．≥2 解析　法一　当a<0时，a＋<0，选项A，B不成立；当a>0时，a＋>0，选项C不成立；＝|a|＋，由基本不等式可得选项D成立． 法二　取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A，B不正确； 取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确； 因为a，同号，＝|a|＋≥2， 当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确． 答案　D 3．已知x>0，若x＋的值最小，则x为(　　) A．18 B．9 C．3 D．16 解析　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝⇒x＝9时，等号成立． 答案　B 4．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析　因为x>0，y>0，x＋y＝18， 所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立．即的最大值是9. 答案　A 第1课时　均值不等式 题型一　对均值不等式的理解 　下列命题正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2＝2 B．若a<0，b<0，则≤ab C．当a>2时，a＋的最小值是6 D．当a>0，b>0时，≥ [解析]　A中，可能<0，所以不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确； C中，当a>2时，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立，所以正确； D中，由均值不等式知，≤(a>0，b>0)，所以不正确． [答案]　C [规律方法]　 均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. [触类旁通] 1．(多选)下列结论不正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，2x＋的最小值为2 解析　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时，＋≥