第2章 2.2.2 不等式的解集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.2　不等式的解集 学业标准 素养目标 1.会求一元一次不等式(组)的解集．(重点) 2．掌握简单的绝对值不等式的解集的求法．(重点、难点) 3．了解数轴上的两点之间的距离公式和中点坐标公式． 1.通过解一元一次不等式(组)，培养学生数学运算等核心素养． 2．通过解绝对值不等式，培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　不等式的解集与不等式组的解集 　不等式x－1＞2的所有解组成的集合是？ [提示]　(3，＋∞). 　同时满足的所有解组成的集合是？ [提示]　集合为(3，＋∞)∩(－∞，5)＝(3，5). ◎结论形成 不等式的解 能够使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 不等式的__所有解__组成的集合 不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的__交__集 导学2　绝对值不等式 　数轴上表示数a的点与原点的距离大于3怎样表示？ [提示]　|a|＞3. 　这样的点有多少个，用集合怎样表示？ [提示]　无数个，{a|a＞3或a＜－3}． ◎结论形成 1．绝对值不等式的定义：含有__绝对值__的不等式称为绝对值不等式． 2．绝对值不等式的解集：当m＞0时，不等式|x|＞m的解集为__(－∞，－m)∪(m，＋∞)__；不等式|x|＜m的解集为__(－m，m)__． 3．|ax＋b|≥c，|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (2)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式组的解集为(1，a).(　　) (2)不等式|x|<a的解集为(－a，a).(　　) (3)已知数轴上点A，B对应的数分别为x1，x2，若x1＝－1且AB＝5，则x2的值为4.(　　) (4)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不等式组的解集是________． 解析　，解不等式①得x≤3，解不等式②得x＞－2，所以不等式组的解集是(－2，3]. 答案　(－2，3] 3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足________． 解析　数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|＜8. 答案　|x|＜8 4．不等式|1－2x|＜1的解集是________． 解析　∵|1－2x|＜1，∴－1＜1－2x＜1， ∴－2＜－2x＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集是(0，1). 答案　(0，1) 题型一　解不等式(组) 　(1)解不等式组： (2)解关于x的不等式：ax>0. [解析]　(1)不等式组： ①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x， 然后两端同时加上x－2，得3x≥－9， 不等式3x≥－9两端同时乘以，得x≥－3， 同理，解不等式②得x≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞). (2)①当a>0时，x∈(0，＋∞)； ②当a＝0时，x∈∅； ③当a<0时，x∈(－∞，0). [规律方法]　 解不等式(组)的注意点 (1)移项要改变项的符号． (2)利用不等式的性质3时要改变不等号的方向． (3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集． [触类旁通] 1．解不等式组： 解析　由①得x＜3，由②得x＞－9， ∴原不等式组的解集为(－9，3). 题型二　含一个绝对值的不等式的解法 　解下列不等式． (1)|2x＋5|<7； (2)2≤|x－2|≤4. [解析]　(1)原不等式等价于－7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2，∴－6<x<1， ∴原不等式的解集为(－6，1). (2)原不等式等价于 由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为[－2，0]∪[4，6]. [素养聚焦]　通过解含绝对值的不等式，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． [规律方法]　 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法 (1)当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为∅. (3)当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅. [触类旁通] 2．若不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是<x<，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． D． 解析　不等式|x－a|<1⇒－1<x－a<1⇒a－1<x<a＋1， 由于不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是<x<， 所以⇒－≤a≤，所以a的取值范围是. 答案　A 题型三　含两个绝对值