第2章 2.2.2 不等式的解集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.2　不等式的解集

[教材梳理]

导学1　不等式的解集与不等式组的解集

　不等式x－1＞2的所有解组成的集合是？

[提示]　(3，＋∞).

　同时满足的所有解组成的集合是？

[提示]　集合为(3，＋∞)∩(－∞，5)＝(3，5).

◎结论形成

导学2　绝对值不等式

　数轴上表示数a的点与原点的距离大于3怎样表示？

[提示]　|a|＞3.

　这样的点有多少个，用集合怎样表示？

[提示]　无数个，{a|a＞3或a＜－3}．

◎结论形成

1．绝对值不等式的定义：含有__绝对值__的不等式称为绝对值不等式．

2．绝对值不等式的解集：当m＞0时，不等式|x|＞m的解集为__(－∞，－m)∪(m，＋∞)__；不等式|x|＜m的解集为__(－m，m)__．

3．|ax＋b|≥c，|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(2)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式组的解集为(1，a).(　　)

(2)不等式|x|<a的解集为(－a，a).(　　)

(3)已知数轴上点A，B对应的数分别为x1，x2，若x1＝－1且AB＝5，则x2的值为4.(　　)

(4)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．不等式组的解集是________．

解析　，解不等式①得x≤3，解不等式②得x＞－2，所以不等式组的解集是(－2，3].

答案　(－2，3]

3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足________．

解析　数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|＜8.

答案　|x|＜8

4．不等式|1－2x|＜1的解集是________．

解析　∵|1－2x|＜1，∴－1＜1－2x＜1，

∴－2＜－2x＜0，解得0＜x＜1，

故不等式的解集是(0，1).

答案　(0，1)

题型一　解不等式(组)

　(1)解不等式组：

(2)解关于x的不等式：ax>0.

[解析]　(1)不等式组：

①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x，

然后两端同时加上x－2，得3x≥－9，

不等式3x≥－9两端同时乘以，得x≥－3，

同理，解不等式②得x≥2，

所以不等式组的解集是[2，＋∞).

(2)①当a>0时，x∈(0，＋∞)；

②当a＝0时，x∈∅；

③当a<0时，x∈(－∞，0).

[规律方法]　

解不等式(组)的注意点

(1)移项要改变项的符号．

(2)利用不等式的性质3时要改变不等号的方向．

(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．

[触类旁通]

1．解不等式组：

解析　由①得x＜3，由②得x＞－9，

∴原不等式组的解集为(－9，3).

题型二　含一个绝对值的不等式的解法

　解下列不等式．

(1)|2x＋5|<7；

(2)2≤|x－2|≤4.

[解析]　(1)原不等式等价于－7<2x＋5<7.

∴－12<2x<2，∴－6<x<1，

∴原不等式的解集为(－6，1).

(2)原不等式等价于

由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4.

由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.

∴原不等式的解集为[－2，0]∪[4，6].

[素养聚焦]　通过解含绝对值的不等式，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．

[规律方法]　

|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法

(1)当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为∅.

(3)当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.

[触类旁通]