第2章 2.2.1 不等式及其性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

　不等式

2.2.1　不等式及其性质

[教材梳理]

导学1　作差法

　(1)如果a－b是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？

[提示]　如果a－b是正数，则a＞b，反之也成立，用数学语言可描述为：a－b＞0⇔a＞b.

(2)如果a－b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？

[提示]　如果a－b是负数，则a＜b，反之也成立，即a－b＜0⇔a＜b.

◎结论形成

1．不等关系与不等式

我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．

2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示

其中a≥b⇔__a>b或a＝b__，a≤b⇔__a<b或a＝b__．

3．(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为__点P的坐标__，并记作__P(x)__．

(2)比较两个实数(代数式)大小

作差法的理论依据：

a>b⇔__a－b>0__；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔__a－b<0__．

导学2　不等式的性质

　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？

(1)如果a＝b，那么b＝a；

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；

(4)如果a＝b，那么ac＝bc.

[提示]　(1)如果a>b，那么b<a；(2)如果a>b，b>c，那么a>c；

(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bc.

◎结论形成

1．不等式的性质

2．不等式的推论

导学3　不等式的证明方法

　阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？

求证：－>－.

证明：因为0<＋<＋，所以>，所以－>－.

[提示]　由已知0<＋<＋出发，推出结论．

◎结论形成

1．反证法

反证法是一种间接证明的方法，其实质是：首先__假设结论的否定成立__，然后__由此推理得到矛盾__，最后__得出假设不成立__．

2．综合法

综合法的实质就是不断寻找__必然成立的结论__，其重要的推理形式为__p⇒q__，其中p为已知或者已经得出的结论．

3．分析法

分析法的实质是不断寻找结论成立的__充分条件__，其重要的推理形式是__“要证p，只需证明q”__，可以表示为__p⇐q__，其中p是需要证明的结论．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a>b，c<d，则a－c>b－d.(　　)

(2)若a>b，则<.(　　)

(3)若a>b>0，c>d>0，则>.(　　)

(4)已知a>b，e>f，c>0，则f－ac<e－bc.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)

A．T<40　　　　　　 B．T>40

C．T≤40    D．T≥40

解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.

答案　C

3．设M＝x2＋3，N＝3x，则M与N的大小关系为(　　)

A．M＞N    B．M＝N