第2章 2.2.1 不等式及其性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

　不等式 2.2.1　不等式及其性质 学业标准 素养目标 1.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式(组)表示各种不等关系．(难点) 2．掌握不等式的有关性质．并能解决有关问题．(重点) 3．了解反证法、分析法、综合法证明不等式的方法．(难点) 1.通过不等式的概念和性质的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过不等式的性质的应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　作差法 　(1)如果a－b是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ [提示]　如果a－b是正数，则a＞b，反之也成立，用数学语言可描述为：a－b＞0⇔a＞b. (2)如果a－b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ [提示]　如果a－b是负数，则a＜b，反之也成立，即a－b＜0⇔a＜b. ◎结论形成 1．不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 __≤__ 小于 __<__ 至少 ≥ 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于等于 ≥ 不少于 __≥__ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 其中a≥b⇔__a>b或a＝b__，a≤b⇔__a<b或a＝b__． 3．(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为__点P的坐标__，并记作__P(x)__． (2)比较两个实数(代数式)大小 作差法的理论依据： a>b⇔__a－b>0__；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔__a－b<0__． 导学2　不等式的性质 　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc. [提示]　(1)如果a>b，那么b<a；(2)如果a>b，b>c，那么a>c； (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bc. ◎结论形成 1．不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c__>__b＋c 性质2 可乘性 a>b，c>0⇒ac__>__bc 性质3 a>b，c<0⇒ac__<__bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒__a>c__ 性质5 对称性 a>b⇔b<a 2．不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 推论2 同向不等式相加 a>b，c>d⇒__a＋c>b＋d__ 推论3 同向不等式相乘 a>b>0, c>d>0⇒__ac>bd__ 推论4 可乘方性 a>b>0⇒__an>bn__(n∈N，n>1) 推论5 可开方性 a>b>0⇒> 导学3　不等式的证明方法 　阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？ 求证：－>－. 证明：因为0<＋<＋，所以>，所以－>－. [提示]　由已知0<＋<＋出发，推出结论． ◎结论形成 1．反证法 反证法是一种间接证明的方法，其实质是：首先__假设结论的否定成立__，然后__由此推理得到矛盾__，最后__得出假设不成立__． 2．综合法 综合法的实质就是不断寻找__必然成立的结论__，其重要的推理形式为__p⇒q__，其中p为已知或者已经得出的结论． 3．分析法 分析法的实质是不断寻找结论成立的__充分条件__，其重要的推理形式是__“要证p，只需证明q”__，可以表示为__p⇐q__，其中p是需要证明的结论． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，c<d，则a－c>b－d.(　　) (2)若a>b，则<.(　　) (3)若a>b>0，c>d>0，则>.(　　) (4)已知a>b，e>f，c>0，则f－ac<e－bc.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 答案　C 3．设M＝x2＋3，N＝3x，则M与N的大小关系为(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 解析　x2＋3－3x＝x2－3x＋3＝＋≥＞0.所以x2＋3＞3x. 答案　A 4．若1≤x≤3，2≤y≤4，则x－y