第2章 2.1.3 方程组的解集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.1.3　方程组的解集

 

[教材梳理]

导学　方程组的解集

　如果有一方程组为

那么适合方程①吗？适合方程②吗？

[提示]　均适合，并且{(x，y)|x＝8，y＝11}为两方程解集的交集．

　如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？

[提示]　可以通过消元法求解．

◎结论形成

1．方程组的解集

将多个方程联立，就能得到__方程组__．方程组中，由每个方程的解集得到的__交集__称为方程组的解集，求方程组解集常用的方法是__消元法__．

2．方程组的解集是无限集时的表示方法

当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．

 [基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程组的解集为{2，1}．(　　)

(2)方程组的解集是有限集．(　　)

(3)是方程组

的一个解．(　　)

(4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　)

A．先消去x　　　 B．先消去y

C．先消去z    D．以上说法都不对

解析　根据系数特点，先消去y最简便，故选B.

答案　B

3．方程组的解集是(　　)

A．{x＝0，y＝1}    B．{0，1}

C．{(0，1)}    D．{x＝0或y＝1}

解析　由得

∴方程组的解集为{(0，1)}．

答案　C

4．若关于x，y的方程组的解集为{(3，－b)}，则a＝________．

解析　∵方程组的解集为{(3，－b)}，∴∴

答案　－

题型一　二元一次方程组的解集及应用一题多解

　(1)求方程组的解集．

(2)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

[解析]　(1)方程组

法一(代入法)　由②得y＝4x－5，③

把③代入①得2x＋3(4x－5)＝－1，解这个一元一次方程，得x＝1，

把x＝1代入③得y＝－1.

所以这个方程组的解集为{(1，－1)}．

法二(加减法)　①×2－②得y＝－1，代入②得x＝1，

所以这个方程组的解集为{(1，－1)}．

(2)设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：

根据题意及上述表格，可列方程组可得

①－②，得y＝30，把y＝30代入②中，得x＝28.

答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g．

[规律方法]　

(1)求二元一次方程组的解集常常利用消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法．

(2)用二元一次方程组解决实际问题的步骤：

①审题：弄清题意和题目中的数量关系．

②设元：用字母表示题目中的未知数．

③列方程组：根据两个等量关系列出方程组．

④解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．

⑤检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．

[触类旁通]

1．(1)若x，y满足方程组则x＋y的值是(　　)

A．5　　　　　　　 B．－1

C．0    D．1

(2)小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　)

A．25元    B．30元

C．35元    D．45元

解析　(1)

法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5.

法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.化简，得x＋y＝5.

(2)设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元，