第1章 1.2.3 充分条件、必要条件-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

1.2.3　充分条件、必要条件

[教材梳理]

导学1　充分条件与必要条件

　判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？

①若x＞a2＋b2，则x＞2ab；

②若ab＝0，则a＝0.

[提示]　①为真命题，②为假命题．①为真命题，说明由条件x＞a2＋b2，通过推理可以得出结论x＞2ab.

　以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p，则q”的命题都成立？

[提示]　都成立．

 

 

 

 

◎结论形成

1．p⇒q与pq

若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作__p⇒q__，读作“p推出q”，否则，称p不可以推出q，记作__pq，读作：“p推不出q”__．

2．充分条件和必要条件

“如果p，那么q”是真命题，当p⇒q时，称p是q的__充分条件__，q是p的__必要条件__．

导学2　充要条件

　已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

[提示]　p⇒q，故p是q的充分条件，又q⇒p，故p是q的必要条件．

　通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只

要具备上述命题的条件都成立？你能用数学语言概括出来吗？

[提示]　可以发现p既是q的充分条件，又是q的必要条件，且这种关系对“若p，则q”的命题只要具备p⇒q，q⇒p都成立，即p⇔q.

◎结论形成

1．充分不必要条件

如果p⇒q且__qp__，则称p是q的充分不必要条件．

2．必要不充分条件

如果pq且__q⇒p__，则称p是q的必要不充分条件．

3．充要条件

如果p⇒q且__q⇒p__，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)记作__p⇔q__，此时，也读作__“p与q等价”“p当且仅当q”__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　)

(2)“x>0”是“x>1”的充分条件．(　　)

(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)

(4)a＝0是a2＝0的充分条件又是必要条件．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

解析　由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．

答案　B

3．a＜0，b＜0的一个必要条件为(　　)

A．a＋b＜0　　　 B．a－b＞0

C．＞1    D．＜－1

解析　a＋b＜0a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.

答案　A

4．“x＞0”是“x≠0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　由“x＞0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件．

答案　A

题型一　充分条件与必要条件的判断

　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件).

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.

[解析]　(1)∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵p不能推出q，q⇒p，

∴p是q的必要不充分条件．

(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，

∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.

而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．

[规律方法]　

判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．

(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断．

一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要