第1章 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

[教材梳理]

导学1　命题的否定

　观察下列两个命题①②，它们之间有什么关系？

①6是3的倍数．

②6不是3的倍数．

[提示]　命题②是命题①的否定．

◎结论形成

1．定义：一般地，对命题p加以__否定__，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．

2．命题p与其否定¬p的真假关系

如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．

导学2　全称量词命题与存在量词命题的否定

　写出下列命题的否定．

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x＋|x|≥0.

它们与原命题在形式上有什么变化？

[提示]　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，r(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；

命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；

命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0.

从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．

　写出下列命题的否定．

(1)存在一个实数的绝对值是正数；

(2)有些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0.

它们与原命题在形式上有什么变化？

[提示]　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；

命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；

命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0.

从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．

◎结论形成

含量词的命题的否定

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题¬p的否定是p.(　　)

(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.(　　)

(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　)

(4)∀x∈R，x2≤0是假命题．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．若p：方程x2＋x＋2＝0没有实根，则¬p为________(真、假)命题．

解析　∵p为真命题，∴¬p为假命题．

答案　假

3．命题：“有的四边形是平行四边形”的否定是________．

解析　命题：“有的四边形是平行四边形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．

答案　所有的四边形都不是平行四边形

4．命题“同位角相等”的否定为________．

解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故否定为：有的同位角不相等．

答案　有的同位角不相等

题型一　命题的否定

　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根；

(2)2.3是无理数；

(3)1既不是质数又不是合数；

(4)15是3或5的倍数．

[解析]　(1)命题的否定：x＝1不是方程x2－3x＋2＝0的根，是假命题．

(2)命题的否定：2.3不是无理数，是真命题．

(3)命题的否定：1是质数或合数，是假命题．

(4)命题的否定：15不是3的倍数且不是5的倍数，是假命题．

[规律方法]　

否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确．

[触类旁通]

1．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)圆周率π是无理数；

(2)空集∅是集合A的子集；

(3)2是质数且是偶数；

(4)6是2或3的倍数．

解析　(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题．

(2)命题的否定：空集∅不是集合A的子集，是假命题．

(3)命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题．

(4)命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题．

题型二　全称量词命题与存在量词命题的否定

　写出下列命题的否定．

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)可以被5整除的整数，末位是0.

(3)∃x∈R，x2＋1<0.

[解析]　(1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)命题的否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

(3)命题的的否定：∀x∈R，x2＋1≥0.