第1章 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学业标准 素养目标 1.理解命题的否定即非的含义．(难点) 2．能对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 1.通过对命题的否定定义的理解，培养学生数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过对命题的否定，培养学生逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　命题的否定 　观察下列两个命题①②，它们之间有什么关系？ ①6是3的倍数． ②6不是3的倍数． [提示]　命题②是命题①的否定． ◎结论形成 1．定义：一般地，对命题p加以__否定__，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与其否定¬p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． 导学2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　写出下列命题的否定． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x＋|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ [提示]　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，r(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 　写出下列命题的否定． (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ [提示]　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． ◎结论形成 含量词的命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，q(x) __∃x∈M，¬q(x)__ 全称量词命题的否定是__存在量词命题__ 存在量词命题∃x∈M，p(x) __∀x∈M，¬p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)∀x∈R，x2≤0是假命题．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若p：方程x2＋x＋2＝0没有实根，则¬p为________(真、假)命题． 解析　∵p为真命题，∴¬p为假命题． 答案　假 3．命题：“有的四边形是平行四边形”的否定是________． 解析　命题：“有的四边形是平行四边形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定． 答案　所有的四边形都不是平行四边形 4．命题“同位角相等”的否定为________． 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故否定为：有的同位角不相等． 答案　有的同位角不相等 题型一　命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根； (2)2.3是无理数； (3)1既不是质数又不是合数； (4)15是3或5的倍数． [解析]　(1)命题的否定：x＝1不是方程x2－3x＋2＝0的根，是假命题． (2)命题的否定：2.3不是无理数，是真命题． (3)命题的否定：1是质数或合数，是假命题． (4)命题的否定：15不是3的倍数且不是5的倍数，是假命题． [规律方法]　 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确． [触类旁通] 1．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合A的子集； (3)2是质数且是偶数； (4)6是2或3的倍数． 解析　(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题． (2)命题的否定：空集∅不是集合A的子集，是假命题． (3)命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题． (4)命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题． 题型二　全称量词命题与存在量词命题的否定 　写