第1章 1.2.1 命题与量词-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

　常用逻辑用语

1．2.1　命题与量词

[教材梳理]

导学1　命题的定义及分类

　下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

(2)2＋4＝6；

(3)若x2＝1，则x＝1；

(4)2是质数；

[提示]　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假．

◎结论形成

导学2　全称量词命题与存在量词命题

　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

(1)x>3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．

[提示]　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

◎结论形成

 [基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　)

(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　)

(3)全称量词命题一定含有全称量词．(　　)

(4)x2≥0吗？是全称量词命题．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x2－4≤0；③今天天气真好啊；④所有的自然数都大于零；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为________．

解析　①是命题，但不是真命题，因为{a，b}应有4个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题；⑤是命题且是真命题．

答案　⑤

3．下列命题，既是真命题又是存在量词命题的是(　　)

A．存在一个实数x，使x2－x＝0

B．存在实数x，使|x|＜0

C．所有的集合都有真子集

D．矩形的对角线互相垂直

解析　C，D是全称量词命题，A，B是存在量词命题，当x＝1或x＝0时，x2－x＝0.故A成立．

答案　A

4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号).

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．

答案　①②③　④

题型一　命题与命题的真假判断

　判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．

(1)奇数的平方仍是奇数；

(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；

(3)5x＞4x；

(4)未来是多么美好啊！

(5)你是高二的学生吗？

[解析]　(1)是命题，且是真命题．

(2)是命题，且是假命题．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形．如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形．

(3)不是命题．因为x是未知数，不能判断不等式的真假．

(4)是感叹句，不涉及真假，不是命题．

(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题．

[规律方法]　

(1)判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假．

(2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．

[触类旁通]

1．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．

(1)一个数不是合数就是质数；

(2)x≥16；

(3)一个实数不是正数就是负数；

(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．

解析　(1)是假命题．如1既不是质数也不是合数．

(2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．