第1章 1.1.2 集合的基本关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

1．1.2　集合的基本关系

[教材梳理]

导学1　子集

　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素吗？

[提示]　是

　如果B＝{2，3，4}呢？

[提示]　不是．

◎结论形成

1．子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的__子集__，记作__A⊆B__或__B⊇A__，读作__“A包含于B”(或“B包含A”)__．如果A不是B的子集，则记作__A⃘B(或B⊉A)__，读作__“A不包含于B”(或“B不包含A”)__．

2．性质

(1)任何一个集合是它自身的子集，即__A⊆A__；

(2)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

(3)__∅⊆A__，即空集是任意一个集合的子集．

导学2　真子集

　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合B中是否有元素不在集合A呢？

[提示]　B中有元素3，3∉A.

◎结论形成

1．真子集

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素__不属于__A，那么集合A称为集合B的__真子集__，记作__AB__或__BA__，读作__A真包含于B__或__B真包含A__．

2．性质

(1)若A≠∅，则∅A，即空集是任何非空集合的真子集；

(2)若__AB，且BC，则AC__．

导学3　集合的相等及子集的关系

　已知集合A＝{x|x＜3且x∈N}，B＝{0，1，2}，则A是B的子集吗？B也是A的子集吗？

[提示]　A⊆B，同时B⊆A.

◎结论形成

1．集合相等

组成S的元素与组成T的元素完全相同，即__S＝T__，另外，由子集的定义可知S⊆T且__T⊆S__．

2．等价表示

(1)如果A⊆B且B⊆A，则__A＝B__；

(2)如果A＝B，则__A⊆B且B⊆A__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)

(2)任何一个集合都有子集．(　　)

(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(　　)

(4)空集是任何集合的真子集．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　)

A．5　　　　　　　 B．6

C．7    D．8

解析　集合N的真子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个．

答案　C

3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　)

A．P⊆T    B．T⊇P

C．P＝T    D．PT

解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT.

答案　ABD

4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　)

解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．

∵M＝{－1，0，1}，∴NM.

答案　B

题型一　集合间的关系

　指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．

[解析]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.

(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM.

[规律方法]　

1．判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察．

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或维恩图．