第1章 1.1.2 集合的基本关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

1．1.2　集合的基本关系 学业标准 素养目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，会求一些给定集合的子集． 2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．(重点) 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．(重点、难点) 1.通过情景得出集合间的关系，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过判断集合间的关系，培养学生逻辑推理、直观想象等核心素养． [教材梳理] 导学1　子集 　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素吗？ [提示]　是 　如果B＝{2，3，4}呢？ [提示]　不是． ◎结论形成 1．子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的__子集__，记作__A⊆B__或__B⊇A__，读作__“A包含于B”(或“B包含A”)__．如果A不是B的子集，则记作__A⃘B(或B⊉A)__，读作__“A不包含于B”(或“B不包含A”)__． 2．性质 (1)任何一个集合是它自身的子集，即__A⊆A__； (2)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； (3)__∅⊆A__，即空集是任意一个集合的子集． 导学2　真子集 　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合B中是否有元素不在集合A呢？ [提示]　B中有元素3，3∉A. ◎结论形成 1．真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素__不属于__A，那么集合A称为集合B的__真子集__，记作__AB__或__BA__，读作__A真包含于B__或__B真包含A__． 2．性质 (1)若A≠∅，则∅A，即空集是任何非空集合的真子集； (2)若__AB，且BC，则AC__． 导学3　集合的相等及子集的关系 　已知集合A＝{x|x＜3且x∈N}，B＝{0，1，2}，则A是B的子集吗？B也是A的子集吗？ [提示]　A⊆B，同时B⊆A. ◎结论形成 1．集合相等 组成S的元素与组成T的元素完全相同，即__S＝T__，另外，由子集的定义可知S⊆T且__T⊆S__． 2．等价表示 (1)如果A⊆B且B⊆A，则__A＝B__； (2)如果A＝B，则__A⊆B且B⊆A__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (2)任何一个集合都有子集．(　　) (3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(　　) (4)空集是任何集合的真子集．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 解析　集合N的真子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个． 答案　C 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T B．T⊇P C．P＝T D．PT 解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT. 答案　ABD 4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) 解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}． ∵M＝{－1，0，1}，∴NM. 答案　B 题型一　集合间的关系 　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解析]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. [规律方法]　 1．判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 2．证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3．证明集合间的包含关系，一般用定义． [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(