4.6.3 余角和补角（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年七年级上册初一数学同步备课（华东师大版）

4.6 角 3. 余角和补角 1．在具体情境中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质；(重点) 2．能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔． 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜． 二、合作探究 探究点一：余角和补角的概念 【类型一】 求已知角的余角（补）角 ∠α=35°，∠α的余角和补角分别是∠1和∠2，则∠1+∠2=（　　） A．180° B．190° C．200° D．210° 解析：根据余角和补角的定义，分别求出∠1和∠2的度数，再相加即可得到答案． ∵∠α=35°，∴∠α的余角∠1=90°-35°=55°.∠α的补角∠2=180°-35°=145°， ∴∠1+∠2=55°+145°=200°．故选C． 方法总结：明确互为余角的两角之和为90°，互为补角的两角之和为180°． 【类型二】 由角与其余角、补角之间的数量关系求角度 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数． 解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值． 解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决． 【类型三】 与余（补）角有关的角度综合计算 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB， ∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数． 解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案． 解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°. 由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠BOC＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°. 由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB， 即∠AOB＋∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°. 由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. 由ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°. 方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合． 【类型四】与方向角结合的角度计算 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向． (1)求∠BOC的度数； (2)求∠AOB的度数． 解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案；(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案． 解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°. (2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°. 方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算． 探究点二：余角和补角的性质 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定相等的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 解析：图①，根据同角的余角相等，可得∠α=∠β；图②，∠α=135°，∠β=120°； 图③，根据等角的补角相等，可得∠α=∠β；图④，∠α+∠β=180°-90°=90°，互余． ∴∠α与∠β一定相等的是图①和图③．故选B． 方法总结：根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等和平角的定义对各小题分析判断即可得解． 三、板书设计 1．余角和补角的概念 (1)和为90°的两个角互余； (2)和为180°的两个角互补． 2．余角和补角的性质 （1）同角或等角的