第5章 阶段测评(四) (5.3)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

阶段测评(四)　(5.3) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．函数f(x)＝x2－5ln x－3x－1的单调递减区间为(　　) A.　　　　 B. C. D． 解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－－3＝＝， 所以当0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 故选D. 答案　D 2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析　由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上为单调递减函数，故x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故排除A，C；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B， 故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　f(x)＝ln x－ax2－2x的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f′(x)＝－ax－2<0在(0，＋∞)上有解， 即－<a在(0，＋∞)上有解， 其中y＝－＝2－1≥－1， 故a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)． 故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝ex－e－x－2sin x，则关于x的不等式f(x2－2x)＋f(x－2)<0的解集为(　　) A．(－1,2) B．(－2,1) C．(2，＋∞)∪(－∞，－1) D．(1，＋∞)∪(－∞，－2) 解析　函数f(x)＝ex－e－x－2sin x的定义域为R，定义域关于原点对称， f(－x)＝e－x－ex－2sin(－x)＝e－x－ex＋2sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝ex－e－x－2sin x为奇函数， 因为f′(x)＝ex＋e－x－2cos x≥2－2cos x≥0， 当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立， 所以函数f(x)＝ex－e－x－2sin x在R上单调递增， 所以f(x2－2x)＋f(x－2)<0可化为f(x2－2x)<－f(x－2)，即f(x2－2x)<f(2－x)， 所以x2－2x<2－x， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2， 所以不等式f(x2－2x)＋f(x－2)<0的解集为(－1,2)． 答案　A 5．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a(a为常数)有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪{－1} D．(－∞，－1)∪ 解析　当x>0时，则f(x)＝， 可得f′(x)＝， 令f′(x)>0，解得0<x<e；令f′(x)<0， 解得x>e； 则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，且x∈(e，＋∞)时，函数值为正， 故f(x)≤f(e)＝； 当x≤0时，则f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 则f(x)在[－1,0]上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减， 故f(x)≥f(－1)＝－1，f(0)＝0； 综上所述，f(x)的图象如下图所示． 令y＝f(x)－a＝0，则f(x)＝a， 原题意等价于y＝f(x)与y＝a有三个交点， 由图象可得实数a的取值范围为. 故选B. 答案　B 6．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　) A．x>y B．x>ln y C．x<y D．x<ln y 解析　不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y， 令f(x)＝ex－x， 则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y ∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)， ∵f′(x)＝ex－1， ∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)， 由f(x)>f(ln y)有x>ln y； 若y∈(0,1]，则ln y≤0，由x>0，有x>ln y. 综上所述，设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则有x>ln y. 故选B. 答案　B 7．(多选题)已知函数f(x)＝xln x，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的极大值为－ B．f(x)的单调递减区间为 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1 D．方程f(x)＝1有两个不同的解 解析　函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)<0，解得0<x<； 令f′(x)>0，解得x>， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，B选项正确； f(x)有极小值f＝－，无极大值，A选项错误； 由f(1)＝0，f′(1)＝1，曲线y＝f(x)在x＝1处的切点为(1,