第5章 阶段测评(三) (5.1～5.2)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

阶段测评(三)　(5.1～5.2) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是(　　) A.　　　　　　 B. C. D． 解析　因为f(x)＝x3－ln x， 所以f(e)＝e3－ln e ＝e3－1， f(1)＝13－ln 1＝1， 所以f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率为＝＝. 故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝x·ex，则导数值f′(1)＝(　　) A．1 B．2e C．e D．e＋1 解析　因为f(x)＝x·ex， 所以f′(x)＝x′·ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，所以f′(1)＝2e.故选B. 答案　B 3．过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex 解析　由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)， 可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)， 把原点(0,0)代入方程， 可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1， 解得t＝2，所以切线方程为 y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 故选A. 答案　A 4．已知m>0，n>0，直线y＝x＋m＋1与曲线y＝ln x－n＋2相切，则＋的最小值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 解析　对y＝ln x－n＋2求导得y′＝， 由y′＝＝得x＝e， 则·e＋m＋1＝ln e－n＋2，即m＋n＝1， 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当m＝n＝时等号成立． 故选D. 答案　D 5．过坐标原点作曲线y＝(x－4)ex的切线，则切线有________条．(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由y＝(x－4)ex可得y′＝(x－3)ex， 过坐标原点作曲线y＝(x－4)ex的切线，设切点为(x0，y0)，则切线斜率为k＝(x0－3)ex0， 切线方程为y－y0＝(x0－3)ex0(x－x0)， 又y0＝(x0－4)ex0，切线方程过坐标原点， 所以－(x0－4)ex0＝(x0－3)ex0(－x0)， 即x－4x0＋4＝0， 所以x0＝2，即切线有1条． 故选B. 答案　B 6．已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 解析　由题意可得y′＝ln x＋1－ae－x， 根据导数的几何意义可知，曲线在点x＝1处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e. 所以切点为(1，－1)， 代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3. 故选C. 答案　C 7．若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A、B两点间距离|AB|的最小值为(　　) A．1 B． C. D．2 解析　点A(a，a)在直线y＝x上，点B(b，eb)在y＝ex上，y＝ex，y′＝ex，设y＝ex的切线的切点为(x0，y0)，令y′＝1⇒ex0＝1⇒x0＝0，所以y＝ex在点(0,1)处的切线为y＝x＋1，此时切线y＝x＋1与直线y＝x平行， 直线y＝x与y＝x＋1之间的距离＝为|AB|的最小值， 故选B. 答案　B 8．已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2，在区间(2,3)内任取两个实数x1，x2，且x1≠x2，若不等式>1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[－9，＋∞) B．[－7，＋∞) C．[9，＋∞) D．[7，＋∞) 解析　因为f(x)＝aln(x＋1)＋x2，所以x＋1>0，即x>－1， 因为>1恒成立， 所以函数f(x)在(2,3)上任意两点连线的斜率大于1，则f(x)的导函数大于1在(2,3)上恒成立， 所以f′(x)＝＋2x>1，整理得a>(x＋1)·(1－2x)，所以a>[(x＋1)(1－2x)]max， 因为二次函数y＝(x＋1)(1－2x)＝－2x2－x＋1开口向下，对称轴为x＝－， 所以y＝－2x2－x＋1在(2,3)上单调递减， 所以a≥(2＋1)×(1－2×2)＝－9. 即实数a的取值范围是[－9，＋∞)．故选A. 答案　A 9．(多选题)下列运算错误的是(　　) A．(2x)′＝2xlog2e B．()′＝ C．(sin 1)′＝cos 1 D．(log3 x)′＝ 解析　对于A，(2x)′＝2xln 2，A错误； 对于B，()′＝(x)′＝x－＝，B正确； 对于C，(sin 1)′＝0，C错误； 对于D，(log3 x)′＝，D正确． 故选AC. 答案　AC 10．(多选题)某物体的运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝l