第5章 教考衔接(四) 构造法在导数中的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

一、真题展示 (2022·新高考全国卷Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c　　　　　 B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 二、真题溯源 [教材P99第12题] 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (1)ex>1＋x，x≠0； (2)ln x<x<ex，x>0. 三、算法探究 　联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值类问题，则可构造函数，并确定自变量的取值范围，通过研究函数的单调性、最值等，可使问题变得清晰明了，因此，准确构造函数是解题的关键．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则． 　(1)已知实数a，b，c∈(0,1)，e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (2)对任意的x1，x2∈(1,3]，当x1<x2时，x1－x2－ln >0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．[9，＋∞) D．(9，＋∞) [解析]　(1)由ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2得＝，＝，＝＝＝， 构造函数f(x)＝(x>0)，求导得f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因为1<ln 4<2<3，所以f(ln 4)<f(2)<f(3)，所以f(c)<f(a)<f(b)， 又因为a，b，c∈(0,1)，f(x)在(0,1)上单调递减，所以b<a<c. 故选A. (2)x1－x2－ln >0， 即x1－ln x1>x2－ln x2， 令f(x)＝x－ln x，由题意得f(x)在(1,3]上单调递减， 故f′(x)＝1－≤0，即a≥3x在(1,3]上恒成立，则a≥9， 故选C. [答案]　(1)A　(2)C (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝； (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.　 　已知函数g(x)＝ex－ln x－m的图象恒在f(x)＝(em－1)x的图象的上方，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，e－1) C．(0,1) D．(0，e－1) [解析]　由题意可得(em－1)x<ex－ln x－m， 故x·em＋m＋ln x<ex＋x， 即em＋ln x＋m＋ln x<ex＋x. 令φ(x)＝ex＋x，则φ(x)＝ex＋x单调递增，原不等式可化为φ(m＋ln x)<φ(x)， 所以m＋ln x<x，即m<x－ln x， 令h(x)＝x－ln x， 则h′(x)＝1－＝，当0<x<1时， h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0， 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝1， 所以m<1.故选A. [答案]　A 同构法的三种基本模式：①乘积型，如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex；②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝；③和差型，如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x．　 学科网（北京）股份有限公司 $$