第5章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

第2课时　函数的最大(小)值 [教材梳理] 导学 函数的最大(小)值 下图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？ [提示]　存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定，也可能是区间端点的函数值． 　怎样确定函数f(x)在区间[a，b]上的最小值和最大值？ [提示]　比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值． ◎结论形成 1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．函数最值的求法 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　) (4)若函数f(x)有两个最值，则它们的和大于零．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝2x＋sin x在区间[0，π]上的(　　) A．最小值为0，最大值为π＋1 B．最小值为0，最大值为2π C．最小值为π＋1，最大值为2π D．最小值为0，最大值为2 解析　f′(x)＝2＋cos x>0，所以f(x)在区间[0，π]上单调递增，因此f(x)的最小值为f(0)＝0，最大值为f(π)＝2π. 答案　B 3．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．－ C. D．1 解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝aln l＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析　令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1， 所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32. 答案　32 　求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． [解析]　(1)因为f(x)＝2x3－12x， 所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0， 解得x＝－或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8； 所以当x＝时， f(x)取得最小值－8； 当x＝3时， f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0,2π]， 解得x＝π或x＝π. 计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋， f＝π－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值，f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值，f(2π)＝π. 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，不需要判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．　 [触类旁通] 1．求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0,2]上的最值． 解析　f′(x)＝－x， 令f′(x)＝0，即－x＝0， 得x＝－2或x＝1. 又∵x＋1＞0，即x＞－1，∴x＝－2舍去． ∵f(0)＝0，f(1)＝ln 2－，f(2)＝ln 3－1， ∴该函数在区间[0,2]上的最大值为ln 2－，最小值为0. 　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值． [解析]　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>