第5章 教考衔接(三) 函数的公切线-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

一、真题展示 (2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 二、真题溯源 [教材P104第13题] 已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 三、算法探究 　导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 　函数f(x)＝ln x＋1的图象与函数g(x)＝ex－1的图象的公切线的方程为____________． [解析]　根据题意，设函数f(x)与g(x)的图象的公切线为直线l，并设直线l与函数y＝f(x)的图象相切于点(m，ln m＋1)，与函数y＝g(x)的图象相切于点(n，en－1)．由f(x)＝ln x＋1，得f′(x)＝，所以直线l的斜率为f′(m)＝，则直线l的方程为y－ln m－1＝(x－m)，即y＝x＋ln m．又由g(x)＝ex－1，得g′(x)＝ex，所以直线l的斜率为g′(n)＝en，则直线l的方程为y－en＋1＝en(x－n)，即y＝enx＋(1－n)en－1.由题意知消去m，得(1－n)·(en－1)＝0，解得n＝0或n＝1.所以公切线的方程为y＝x或y＝ex－1. [答案]　y＝x或y＝ex－1 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．　 　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－1和y＝ex－1的公切线，则实数k的值是(　　) A．e－1 B．e C．0 D．1 [解析]　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1，y＝ex－1分别相切于点A(x1，ex1－1)，B(x2，ex2－1)， 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex，则k＝ex1， 曲线y＝ex－1在点A处的切线方程为y－ex1＋1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋(1－x1)ex1－1. 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex－1，则k＝ex2－1， 曲线y＝ex－1在点B处的切线方程为y－ex2－1＝ex2－1(x－x2)，即y＝ex2－1x＋(1－x2)ex2－1， 所以 化简可得故选D. [答案]　D 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．　 　已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n， 直线l是f(x)与g(x)的公切线，则 解得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，切线有两条． 故选C. [答案]　C 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．　 　若曲线y＝(x>0)与曲线y＝2ln x存在公切线，则a的取值范围为________． [解析]　由y＝(x>0)，则y′＝′＝－，设切点为，则切线斜率为－， 所以切线为y－＝－(x－m)， 即y＝－＋， 由y＝2ln x(x>0)，则y′＝(2ln x)′＝， 设切点为(n,2ln n)，则切线斜率为， 所以切线为y－2ln n＝(x－n)， 即y＝＋2ln n－2， 根据题设，若它们切线为公切线，则有即 又m，n>0，即a<0且ln n－1<0，即0<n<e， 由以上关系式并消去m，整理得2a＝－n(ln n－1)2在n∈(0，e)上有解， 令f(n)＝－n(ln n－1)2，则f′(n)＝1－ln2 n， 当f′(n)>0，则－1<ln n<1，即<n<e，此时f(n)递增； 当f′(n)<0，则ln n<－1或ln n>1，即0<n<或n>e，此时f(n)递减； 又f＝－2＝－， f(e)＝－e(ln e－1)2＝0， 所以2a∈，即a∈. [答案]　 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问