第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 学业标准 素养目标 1.了解导数概念的实际背景． 2．掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．(重点) 3．理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．(重点、难点) 1.通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算等核心素养． 3．通过导数的几何意义求切线方程，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　导数的概念 [教材梳理] 导学1 函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y从f(x0)变为f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 导学2 导数的定义 　已知函数y＝8－3x2. (1)试求函数在[1,1＋Δx]这段时间内的平均变化率． (2)当Δx趋近于0时，问题1中的平均变化率趋近于何值？如何理解这一变化率？ [提示]　(1)＝＝－6－3Δx. (2)当Δx趋近于0时，趋近于－6.这时的平均变化率即x＝1时的瞬时变化率． ◎结论形成 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．(　　) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．(　　) (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　　) (4)若f′(x0)＝1，则 ＝2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 解析　＝＝4＋2Δx. 答案　D 3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 解析　∵f(x)＝x2， ∴在x＝1处的瞬时变化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 答案　2 4．函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为________． 答案　2 　(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． [解析]　(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2， ∴＝＝3－Δx， ∴f′(－1)＝ ＝ (3－Δx)＝3. (2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限．　 [触类旁通] 1．利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解析　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， ∵＝＝3Δx＋4， ∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4. 　 已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． (1) ； (2) . [解析]　(1)原式＝lim ＝ (Δx→0时，－Δx→0) ＝－f′(x0)． (2)原式＝ ＝ ＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)． [母题变式] (变条件)若将(1)改为“函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，求f′(x0)．” 解析　∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－. 答案　 － 在导数的定义中，Δx是一个相对的量，当Δx→0时，kΔx→0，只要保证f(x＋kΔx)－f(x)与kΔx一致，即可将其作为一个整体，利用导数的概念进行求解．　 [触类旁通] 2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a　　　　　 B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析　因为＝＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. 答案　C 　航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．