第5章 5.1.1 变化率问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 学业标准 素养目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念(难点)． 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(重点) 1.通过平均变化率和瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率与瞬时变化率，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 平均变化率 　在跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. (1)在0≤t≤0.2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (2)在1≤t≤1.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (3)在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度又是多少？ [提示]　(1)＝＝1.82(m/s)． (2)＝＝－9.45(m/s)． (3)＝. 导学2 瞬时变化率 　如何求跳水运动员在t＝1时的速度？ [提示]　可以求在[1,1＋Δt]时的平均速度，当Δt很小时，可以近似认为平均速度就是t＝1时的速度． ◎结论形成 1．瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系 事实上，由＝＝－4.9Δt－7可以发现，当Δt无限趋近于0时，4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－7.这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－7叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 ＝－7. 从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－7 m/s. 导学3 抛物线的切线的斜率 　已知抛物线f(x)＝x2，P0(1,1)在抛物线上，抛物线上有异于P0的点P(x，x2)． (1)割线P0P的斜率k是什么？ (2)当点P趋近于点P0时，割线 P0P与过点P的切线PT有什么关系？ [提示]　(1)割线P0P的斜率k＝. (2)当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于过点P的切线PT. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0.(　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的量．(　　) (4)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析　＝＝－1. 答案　B 3．函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t＋Δt时，y的变化为(　　) A．f(t＋Δt) B．f(t)＋Δt C．f(t)·Δt D．f(t＋Δt)－f(t) 答案　D 4．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则 ＝(　　) A．－2f′(2) B．2f′(2) C．－f′(2) D．f′(2) 解析　 ＝－ ＝－f′(2)． 答案　C 　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为： ＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为： ＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率.　 [触类旁通] 1．函数y＝x2＋1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析　∵(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2， ∴＝2＋Δx，故选C. 答案　C 　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________． (2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是________． [解析]　(1)∵ΔS＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－gΔt2， ∴＝v0－gt0－gΔt， ∴ ＝v0－gt0， 即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. (2)∵当t＝1时，ΔS＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ∴ ＝6， 则物体在第t＝1时的瞬时速度是6. [答案]　(1)v0－gt0　(2)