第4章 4.4 数学归纳法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

　数学归纳法 学业标准 素养目标 1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学 数学归纳法 　在学校内，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ [提示]　①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． ◎结论形成 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“n＝k(k≥n0，k∈N*)”时命题成立为条件，推出当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 这种证明方法称为数学归纳法． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) (4)在证明与正奇数有关命题时，用数学归纳法证明时第二步是n＝k(k为正奇数)时命题成立，推证n＝k＋2时命题成立．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证 (　　) A．当n＝1时，不等式成立 B．当n＝2时，不等式成立 C．当n＝3时，不等式成立 D．当n＝4时，不等式成立 解析　由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n＝3时，不等式成立，故选C. 答案　C 3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确． 答案　C 4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*且n>1)，第一步要证明的不等式是______，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项． 解析　当n＝2时，1＋＋<2.当n＝k时到第2k－1项，当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k. 答案　1＋＋<2　2k 　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4， 右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．　 [触类旁通] 1．用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝. 证明　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知对于任意的n∈N*等式都成立． 　用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋. 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程