第4章 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 学业标准 素养目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能利用等比数列的前n项和解决实际问题．(难点) 1.通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过运用错位相减法求和，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　等比数列的前n项和 [教材梳理] 导学 等比数列的前n项和公式 　已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. (1)若q＝1，则Sn与a1有何关系？ (2)若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ [提示]　(1)Sn＝na1. (2)能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝. ◎结论形成 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的前n项和Sn＝则数列{an}不是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　　　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析　因为q＝＝2，且a1＝2，所以S10＝＝＝2(210－1)＝211－2. 答案　D 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析　由S5＝＝44，得a1＝4. 答案　A 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________. 解析　(1)∵a3＋a5＝q(a2＋a4)， ∴40＝20q，∴q＝2， ∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案　2　2n＋1－2 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解析]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4， ∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去)． ∴S7＝＝＝127. (2)法一　由公式Sn＝，an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3. 又2n－1＝＝32，∴n＝6. 法二　由公式Sn＝及已知条件得189＝， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝， 解得q＝－(q＝1舍去)， ∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝. 综上得或 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．　 [触类旁通] 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解析　法一　设等比数列{an}的公比为q， 易知q≠1.由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3，故选D. 法二　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得即 解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 答案　D 　已知等比数列{an}满足a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0,1)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. [解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝， 因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝