第4章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

第2课时　等比数列的性质及应用 [教材梳理] 导学 等比数列的性质 (1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． (2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. (3)数列{an}是有穷数列，则与首、末两项等距离的两项的积相等，且等于首、末两项的积． (4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. (5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q>1时，{an}为递增数列．(　　) (2)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) (3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.(　　) (4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案　D 3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　　　　　　　　 B．27或－27 C．81 D．81或－81 解析　＝＝q2＝9.所以q＝±3.所以a4＋a5＝(a3＋a4)·q＝±27. 答案　B 4．已知等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是________． 解析　a3a6＋a4a5＝a2a7＋a2a7＝2a2a7＝2×4×＝. 答案　 　(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n　　　　　　　 B．n10 C．100n D．n100 (2)(2023·丽江模拟)等比数列的各项均为正数，且a4a5＋a3a6＝4，则a1a2a3…a7a8＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 [解析]　(1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n. (2)由题意，a4a5＋a3a6＝4⇒2a4a5＝4⇒a4a5＝2，所以a1a2a3…a7a8＝4＝16. 故选B. 答案　(1)A　(2)B 利用等比数列的性质解题的基本思路 (1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．此时，常利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． [注意]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 　 [触类旁通] 1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析　因为数列{an}为等比数列， 所以a5a6＝a4a7＝－8，联立 解得或 所以q3＝－或q3＝－2， 故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7. 答案　D 2．(2023·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列中，若a1a7＝9，则2－a4＝(　　) A．6 B．12 C．56 D．78 解析　在各项均为正数的等比数列中，由等比数列的性质可得： 由a＝a1a7＝9，解得a4＝3. 所以a2a6＝a1a7＝9， 所以2－a4＝92－3＝78. 故选D. 答案　D 　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn. [解析]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)． 又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)设{bn}的公差为d， 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5， 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d. 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2. 解得d1＝2，d2＝－10. ∵等比数列{bn}的各项为正， ∴d>0，∴d＝2. Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. 等差数列 等比数列 不同点