第4章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 学业标准 素养目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．(重点) 2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．(难点) 3．能利用等差数列前n项和解决实际问题. 1.通过对等差数列前n项和的推导，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助等差数列的前n项和公式及性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过等差数列中的实际问题，培养数学建模等核心素养. 第1课时　等差数列的前n项和 [教材梳理] 导学 等差数列的前n项和 　如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． (1)共有几层？图形的横截面是什么形状？ (2)假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样的一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ (3)原来有多少根钢管？ (4)能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? (5)试用a1，d，n表示Sn. [提示]　(1)六层，等腰梯形． (2)(4＋9)×6＝78. (3)×78＝39. (4)能．Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝. (5)∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝＝na1＋d. ◎结论形成 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10.(　　) (2)在等差数列中涉及a1，d，n，an，Sn五个量，利用方程思想可以“知三求二”．(　　) (3)在等差数列{an}中，若a1＝2，a9＝10，则S9＝45.(　　) (4)公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) 答案　(1) √　(2)√　(3) ×　 (4)× 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　　　　 B．35 C．49 D．63 解析　∵a2＋a6＝a1＋a7＝14， ∴S7＝＝49. 答案　C 3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析　由S10＝＝120，得a1＋a10＝24. 答案　B 4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________. 解析　因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2. 答案　2 　在等差数列{an}中． (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. [解析]　(1)法一　∵a6＝10，S5＝5， 解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 法二　∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)法一　a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， 所以a1＋2d＝. 所以S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 法二　a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝. 因为Sn＝， 所以S5＝＝×＝24. 1．本题解答中，第(1)小题法一运用了方程的思想，属基本运算，通性通法；法二使用了Sn＝Sn－1＋an.第(2)小题因为条件只有一个，所以运用整体代换的思想． 2．由于Sn＝，故计算时考虑一下“a1＋an”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解． 3．等差数列的通项公式和前n项和公式共涉及“a1，an，d，n及Sn”五个量，反映了“知三求二”的方程思想．　 [触类旁通] 1．在等差数列{an}中． (1)已知a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)已知S5＝24，求a2＋a4. 解析　(1)∵Sm＝m·＋·－＝－15，整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4. (2)由Sn＝＝＝－1 022， 得n＝4，又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171. (3)法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝. 法二　由S5＝＝24，得a1＋a5＝