第4章 4.2.1 第2课时 等差数列的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

第2课时　等差数列的性质 [教材梳理] 导学 等差数列的性质 给出以下3个等差数列： (1)1,4,7,10,13，…，公差为3. (2)－2，－4，－6，－8，－10，…，公差为－2. (3)3,3,3,3,3，…，公差为0. 　针对上述3个等差数列观察分析：等差数列中的奇数项构成的数列是否为等差数列？偶数项呢？所有下标成等差数列的项构成的数列呢？ [提示]　奇数项、偶数项、下标成等差数列的项构成的数列均为等差数列． 　在数列(1)中，请你计算a1＋a5，a2＋a4，它们有何关系？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ [提示]　a1＋a5＝a2＋a4，在(2)(3)中也有这种关系． 　针对数列(1)，我们计算了a1＋a5与a2＋a4的值，它们和a3的关系是什么？在(2)(3)两个数列中是否也有这样的关系？ [提示]　a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，在(2)(3)中也满足这种关系． ◎结论形成 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数p，q，s，t满足p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at. ①特别地，当p＋q＝2k(m，n，k∈N*)时，ap＋aq＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (5)等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)等差数列{an}不是递增数列就是递减数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于(　　) A．2　　　　　　　 B．20 C．100 D．不确定 解析　因为a100－a90＝10d， 即120－100＝10d，所以d＝2. 答案　A 3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 4．如果等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为________的等差数列． 解析　因为a3－a1＝6－2＝4， 所以2d＝4，即d＝2. 所以{2an－3}的公差为2d＝4. 答案　4 　(1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值为________． (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. [解析]　(1)法一　根据等差数列通项公式得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＋(a1＋6d)＝5a1＋20d＝450， ∴a1＋4d＝90. ∴a2＋a8＝2a＋8d＝2(a1＋4d)＝180. 法二　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴5a5＝450.∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴数列{an＋bn}也构成等差数列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， ∴2×21＝7＋a5＋b5， ∴a5＋b5＝35. [答案]　(1)180　(2)35 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)