第4章 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 学业标准 素养目标 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用．(难点) 4．能利用等差数列的性质解决相关的问题．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据等差数列的判断与证明，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等差数列性质的学习，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　等差数列的概念及简单表示 [教材梳理] 导学1 等差数列的定义 1.奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63. 2．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23,23.5,24,24.5，…. 　上面两组数能构成数列吗？ [提示]　能． 　若上面两组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． [提示]　各等于同一个常数． ◎结论形成 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 导学2 等差中项 　已知等差数列2,5,8,11,14,17，任意连续三项之间有什么样的关系？ [提示]　前一项与后一项的和是中间项的2倍． ◎结论形成 等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，并且2A＝a＋b. 导学3 等差数列的通项公式 若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d. 　试用a1，d表示a2，a3，a4. [提示]　a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 　由此猜想等差数列的通项公式an. [提示]　an＝a1＋(n－1)d. ◎结论形成 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则： 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 导学4 从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． (1)an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值； (2) 函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象表示的是斜率为d，截距为a1－d的直线； (3)任意一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，都可以构成等差数列{kn＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,1,1,1,1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)任意两个实数都有等差中项．(　　) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析　∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案　C 3．(多选题)数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为7的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析　∵an＝2n＋5＝2(n－1)＋7，∴首项a1＝7，公差d＝2，故选AC. 答案　AC 4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A. B．± C．3 D．±3 答案　C 　在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解析]　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　 [触类旁通] 1．2 022是等差数列4,6,8，…的(　　) A．第1 007项　　　　　　 B．第1 008项 C．第1 009项 D．第1 010项 解析　∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2 022＝2n＋2， ∴n＝1 010. 答案　D 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析　设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4