第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

第2课时　数列的递推公式与数列的和 [教材梳理] 导学1 数列的递推关系 　某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第n排与第n＋1排座位数有何关系？ (3)第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ [提示]　(1)20,22,24,26,28. (2)第n＋1排比第n排多2个座位． (3)能．an＋1＝an＋2. ◎结论形成 数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 导学2 数列的前n项和Sn与an的关系 　已知一个数列的前9项的和为90，前10项的和为120，你能求出第10项吗？ [提示]　能. 第10项是30. ◎结论形成 1．数列的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列中an与Sn的关系：an＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列．(　　) (4)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4) × 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第2项是(　　) A.　　 B．3　　　 C.　　 D．6 答案　B 3．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析　数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为an＋1＝an(n∈N*)． 答案　C 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋5，则a2＝________. 答案　2 　已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)写出该数列的第4项和第7项； (2)试判断和是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由． [解析]　(1)由通项公式an＝可得a4＝＝，a7＝＝. (2)令＝，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令＝，得n2＝，所以n＝±，由于±都不是正整数，因此不是数列中的项． 1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项；反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解，有正整数解就是，否则就不是． 2．解决是否存在型问题，可先假设存在，然后代入条件或参数的值或范围，若符合题意，则存在，若不符合题意，则不存在．　 [触类旁通] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的项呢？ 解析　(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． 　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B. C. D． (2)(2023·武汉模拟)已知数列中，a1＝2，且满足an＋1＝，则a2 022＝(　　) A．2 B．－1 C. D． [解析]　(1)a1＝1，a2＝a1＋＝1， a3＝a2＋＝. (2)因为a1＝2且an＋1＝，所以a2＝＝＝－1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2，所以是周期为3的周期数列，所以a2 022＝a3×674＝a3＝， 故选C. [答案]　(1)C　(2)C 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． [注意]　由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．　 [触类旁通] 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式； (3)画出数列{an}的图象． 解析　(1)a1＝1，a2＝×1＝， a3＝×＝， a4＝×＝， a5＝×＝，