第4章 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

　数列的概念 学业标准 素养目标 1.理解数列的概念，了解数列的函数特性． 2．掌握数列的通项公式及应用．(重点) 3．理解递推公式并能应用．(难点) 4．掌握数列前n项和的概念，能由Sn求an.(重点) 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过学习递推公式，培养逻辑推理等核心素养． 3．通过由Sn求an，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　数列的概念与简单表示法 [教材梳理] 导学1 数列的概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，…. 　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [提示]　按照一定的顺序排列． ◎结论形成 (1)定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，……，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 导学2 数列的分类 　观察“导学1”中4个例子对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ [提示]　数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中每一项的大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项． ◎结论形成 类别 含义 按项的 变化趋 势划分 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 导学3 数列的通项公式 　观察“导学1”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ [提示]　每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． 　能够表示出的通项公式是否是函数关系式？ [提示]　数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ◎结论形成 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 表示 方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．(　　) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．(　　) (3)an与{an}是不同的概念．(　　) (4)有些数列没有通项公式．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 答案　C 3．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，n∈N*，则它的图象是(　　) A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 答案　B 4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝________. 解析　a8＝2×8－1＝15. 答案　15 　(1)(多选题)下列说法不正确的是(　　) A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 [解析]　{1,3,5,7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． [答案]　ABD (2)下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些