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第五章 一元一次方程
5.3 应用一元一次方程
——我变高了
优翼数学教学课件(BS七上)
优翼
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r
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积,你知道他是如何测量的吗?
形状改变,
体积不变.
=
思考:在这个过程中什么没有发生变化?
导入新课
合作探究
(1) 若该长方形的长比宽多 1.4 m,此时长方形的长、宽各是多少?
在这个过程中什么没有发生变化?
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
图形的等长变化
新课讲授
x m
(x+1.4) m
等量关系:
(长+宽)× 2 = 周长
解: 设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m. 根据题意,得
(x+1.4 +x) ×2 = 10
解得 x = 1.8
1.8+1.4 = 3.2
此时长方形的长为 3.2 m,宽为 1.8 m.
(2) 若该长方形的长比宽多 0.8 m,此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形与 (1) 中所围成的长方形相比,面积有什么变化?
x m
(x+0.8) m
解:设此时长方形的宽为 x m,则它的长为(x+0.8) m.根据题意,得
(x+0.8 +x) ×2 = 10
解得 x = 2.1
2.1+0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m,宽为 2.1 m,面积为
2.9 ×2.1 = 6.09(m2),(1) 中长方形的面积为 3.2 ×1.8 = 5.76(m2).
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大6.09-5.76 = 0.33(m2).
(3) 若该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少?它围成的正方形的面积与(2)中相比,又有什么变化?
x m
(x+x)×2 = 10
解得 x = 2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 = 6.25(m2).
解:设正方形的边长为 x m.
根据题意,得
比(2)中面积增大 6. 25-6.09 = 0.16(m2).
正方形的边长为 2.5 m,
同样长的铁丝可以围更大的地方.
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆,已知正方形的边长比圆的半径长 2(π-2) m,求这两根等长的铁丝的长度,并通过计算说明谁的面积大.
典例精析
解析:比较两图形的面积大小,关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长,本题的等量关系为正方形的周长=圆的周长.
解:设圆的半径为 r m,则正方形的边长为[r+2(π-2)] m.根据题意,得
答:铁丝的长为 8π m,圆的面积较大.
因为 4π×4>4π×π,所以16π>4π2,
所以圆的面积大.
正方形的面积为 [4+2(π-2)]2=4π2 (m 2).
所以圆的面积是 π×42=16π (m 2),
所以铁丝的长为 2πr=8π (m).
2πr=4(r+2π-4),解得 r=4.
(1) 形状、面积发生了变化,而周长没变;
(2) 形状、周长不同,但是根据题意找出周长之间的关系,把这个关系作为等量关系.解决问题的关键是通过分析变化过程,挖掘其等量关系,从而可列方程.
归纳总结
某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少?
合作探究
图形的等积变化
1. 如果设水箱的高变为 x m,填写下表:
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
3. 列出方程并求解.
2. 根据表格中的分析,找出等量关系.
2
1.6
4
x
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
解得 x = 6.25.
因此,水箱的高度变成了6.25 m.
例2 一种牙膏出口处直径为 5 mm,小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏,这样一支牙膏可以用 36 次,该品牌牙膏推出新包装,只是将出口处直径改为 6 mm,小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏,这样,这一支牙膏能用多少次?
解:设这一支牙膏能用 x 次,根据题意得
解这个方程,得x=25.
答:这一支牙膏能用 25 次.
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些?关键是什么?
思考:
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名