第3章 圆锥曲线的方程 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 研究有关“点点”间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题． 角度1　根据定义求轨迹方程 　如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程． (1)△PAB的周长为10； (2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)． [自主解答]　(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|， 故点P的轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b＝，因此其方程为＋＝1(y≠0)． (2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r， 因此|PA|－|PB|＝1，由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2， 所以b＝，因此其方程为4x2－y2＝1. (3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4，因此其方程为y2＝－8x. 角度2　根据定义解决焦点三角形问题 　双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，求△PF1F2的面积． [自主解答]　双曲线方程16x2－9y2＝144化为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6， 又m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知 cos∠F1PF2＝ ＝＝ ＝＝. 所以∠F1PF2＝60°， 所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 ＝m·n·sin 60°＝16， 所以△PF1F2的面积为16. 角度3　根据定义求最值 　(1)已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________． (2)已知椭圆＋＝1内有一点P(1,1)，F为椭圆的右焦点，椭圆上有一点M，则|MP|－|MF|的最大值为________． [自主解答]　(1)抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1，所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝10－1＝9，当且仅当点A，P，F共线时，等号成立． (2)由题意，知a2＝25，b2＝16，所以c2＝9，即F(3,0)． 当M，F，P三点不共线时， |MP|－|MF|<|PF|. 如图，当M，F，P三点共线时，|MP|－|MF|＝|PF|， 即|MP|－|MF|≤|PF|，所以|MP|－|MF|的最大值是|PF|＝＝. [答案]　(1)9　(2) 二、圆锥曲线的性质及应用 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆还包括长、短轴，双曲线还包括实、虚轴及渐近线，抛物线还包括准线．有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，需要掌握基本公式和概念，充分理解题意，从而顺利求解． 　(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________． (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. [自主解答]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． 依题意设A点坐标为， 则B点坐标为，∴|AB|＝. 由△ABF2是正三角形得2c＝×， 即b2＝2ac， 又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2得2＋2－＝0， 解得e＝＝. (2)设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. [答案]　(1)　(2)2 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表