第3章 圆锥曲线的方程 章末达标检测-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析　因为椭圆方程为＋＝1， 所以a＝3，c＝＝＝， 所以e＝＝. 答案　B 2．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B.y＝±x C．y＝±x D.y＝±x 解析　∵抛物线y2＝8x的焦点是(2,0)，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2.又b＝1且a＞0，∴a＝＝，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x. 答案　D 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．y2－＝1 D.－＝1 解析　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2， ∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案　A 4．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，动点P到直线AD的距离与到平面BB1C1C的距离相等，则P在平面CC1D1D上的轨迹是(　　) A．线段 B.椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 解析　由题知PD即为动点P到直线AD的距离，过P作PM⊥CC1于M，则PM为动点P到平面BB1C1C的距离，则PD＝PM，由抛物线定义可知，P在平面CC1D1D上的轨迹是抛物线的一部分，故选C. 答案　C 5．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B.3 C．6 D.9 解析　根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6，故选C. 答案　C 6．已知椭圆C：＋＝1(m>0，n>0，m≠n)的长轴长为4，离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e. ∵长轴长为4，∴2a＝4，∴a＝2，a2＝4， ∵e＝，∴e2＝＝＝＝，∴b2＝2， ∴当椭圆C的焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B. 答案　B 7．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B.(1,2) C．(2,1＋) D.(1,1＋) 解析　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c， 则＜a＋c，化简整理，得2a2－c2＋ac＞0， ∴e2－e－2＜0，∴－1＜e＜2.又e＞1，∴1＜e＜2.故选B. 答案　B 8．已知点E是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ·sin∠FEP，则μ的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析　过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H， 则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|， 由sin∠EFP＝μ·sin∠FEP， 则在△PFE中由正弦定理可知|PE|＝μ|PF|， 所以|PE|＝μ|PH|， 设PE的倾斜角为α，则cos α＝＝， 当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PE与抛物线相切，设直线PE的方程为x＝ty－， 联立直线与抛物线 得y2－2pty＋p2＝0，所以Δ＝4p2t2－4p2＝0， 所以t＝1，即tan α＝1，则cos α＝， 则μ的最大值为. 答案　C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知曲线mx2＋y2＝1(　　) A. m＝－1表示两条直线 B. m＝1表示圆 C. m<0表示焦点在x轴上的双曲线 D．0<m<1表示焦点在x轴上的椭圆 解析　对于A选项，当m＝－1时，y2－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于B选项，当m＝1时，x2＋y2＝1表示圆心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，当m<0时，y2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0<m<1时，方程为＋y2＝1，由于>1，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确．故选BD. 答案　BD 10．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的是(　　) A．直线y＝x＋1与双曲