第3章 阶段测评(四) 椭圆-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

阶段测评(四)　椭圆 一、选择题(每小题5分，共50分) 1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 解析　c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1. 答案　A 2．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A．4 B.2 C．1 D.4 解析　因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标F(，0)，将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，故|AB|＝1. 答案　C 3．若椭圆＋＝1(a>)的长轴长为6，则它的焦距为(　　) A．4 B.3 C．2 D.1 解析　椭圆＋＝1(a>)的长轴长为6，则2a＝6，即a＝3，由于b2＝5，则c2＝a2－b2＝4，即c＝2，则它的焦距为2c＝4.故选A. 答案　A 4．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为(　　) A. x2＋y2＝9 B. x2＋y2＝7 C. x2＋y2＝5 D. x2＋y2＝4 解析　因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为， 所以＝，解得a＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1， 所以椭圆的上顶点为A，右顶点为B(2,0)， 所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝2， 所以两条切线的交点坐标为，且过A，B两点的切线互相垂直． 由题意知该交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，所以椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝7.故选B. 答案　B 5．已知椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋y2＝1 C.＋x2＝1 D.＋x2＝1 解析　直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点为F(4，0)，即c＝4，而椭圆的离心率为，所以＝，故a＝，所以b2＝a2－c2＝－16＝，故椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　A 6．已知(2,1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积(　　) A．有最小值4 B.有最小值8 C．有最大值8 D.有最大值16 解析　因为(2,1)是椭圆C：＋＝1上的点，所以＋＝1， 所以＋≥2××当且仅当＝，即a＝2b时，取等号，所以1≥，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B. 答案　B 7．已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析　易得A(－2,0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3,1)，2a＝|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝，所以e＝≤＝，故选B. 答案　B 8．(多选)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因为a＝4，e＝， 所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 答案　AB 9．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C．椭圆C的离心率为 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则|PQ|＝ 解析　椭圆C的方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝4，c＝3，则椭圆C的长轴长为2a＝10，离心率e＝＝，焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，所以选项A，C正确，选项B错误．不妨设直线l过椭圆的右焦点(3,0)，将x＝3代入椭圆方程，得y＝±＝±，所以|PQ|＝，选项D正确．故选ACD. 答案　ACD 10．(多选)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是(　　) A．若a＝2b，则Ω的离心率为 B．若Ω的离心率为，则＝ C．若F1，F2为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4a D．若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－ 解析　选项A，离心率e＝＝＝＝，若a＝2b，则e＝＝＝，所以A不正确．选项B，离心率e＝＝，则＝，所以B正确．选项C，根据椭圆的