第3章 3.3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　抛物线方程及性质的应用 [教材梳理] 导学 直线与抛物线的位置关系 　直线与双曲线有几种位置关系？ [提示]　相交、相切和相离三种． 　如何判断直线与双曲线的位置关系． [提示]　代数法与几何法． 　如果直线与抛物线只有一个交点，是不是直线与抛物线一定相切？ [提示]　不一定. ◎结论形成 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组解的个数，即一元二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线与抛物线有两个交点，说明直线与抛物线相交．(　　) (2)直线与抛物线有一个交点，说明直线与抛物线相切．(　　) (3)直线与抛物线相交，则直线与抛物线有两个交点．(　　) (4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为(　　) A．0 B.1 C．2 D.无数 解析　直线y＝2与抛物线y2＝8x的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 答案　B 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 解析　线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝. 答案　A 4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________． 解析　由得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)． 答案　(4,2) 题型一　直线与抛物线的位置关系 一题多变 　已知直线l过点A，且与抛物线y2＝2px(p＞0)只有一个公共点，则直线l的方程为________． [自主解答]　当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l方程为y－p＝k(k≠0)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0. 由Δ＝0得，k＝，或k＝－1. 所以直线l的方程为 2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0. 当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为 2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p. [答案]　2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p. [母题变式] 1．(变条件)例1中抛物线变为x2＝2py(p＞0)，其余条件不变，求直线l的方程． 解析　当直线l斜率不存在时， 方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点． 当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k，与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0， ∴Δ＝4p2k2＋4(2p2＋3kp2)＝0， 解得k＝－1或k＝－2，∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0. 综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p. 2．(变条件、变结论)例1中，若过点A(t，p)只有一条直线与抛物线只有一个公共点，求t的取值范围． 解析　由本例知，若点A在抛物线外部或抛物线上，则至少有两条直线与抛物线只有一个公共点，所以点A应在抛物线内部，即p2＜2pt， 所以t＞. [素养聚焦]　本题主要通过考查直线与抛物线的位置关系的判定与应用，提升学生逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养． [规律方法] 直线与抛物线位置关系问题，常转化为二次函数问题解决，但要注意对二次项系数是否为零进行讨论，避免漏掉直线与抛物线对称轴平行的特殊情况． [触类旁通] 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)． 又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部， ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 答案　C 　(1)(多选)已知直线l过定点B(－1,0)，与抛物线y2＝－4x相交所得弦长为8，则直线l的方程为(　　) A．y＝0 B.x＝－1 C．y＝x＋1 D.y＝－x－1 (2)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x