第3章 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 学业标准 素养目标 1.理解抛物线的几何图形及简单几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(难点) 通过研究抛物线的几何性质及性质的简单应用，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 第1课时　抛物线的简单几何性质 [教材梳理] 导学 抛物线的简单几何性质 　观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图象，分析其几何图形存在哪些区别？ [提示]　抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线、一个顶点、一个焦点，没有中心． 　根据图象及抛物线方程y2＝2px(p＞0)如何确定横坐标x的范围？ [提示]　由抛物线y2＝2px(p＞0)有 所以x≥0，所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． ◎结论形成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图象 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B (1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　　) A．－2 B.0 C．－2或0 D.－2或2 解析　由y2＝4x知B(1,0)为焦点，所以准线为x＝－1，由抛物线定义知xA＋＝1，得xA＝0. 答案　B 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B.y2＝－8x C．y2＝16x D.y2＝－16x 解析　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，p＝4，可得抛物线方程． 答案　AB 4．(一题多解)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析　∵抛物线的方程为y2＝4x， ∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)， 又直线AB过焦点F且斜率为， ∴直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0. 解法一　解得x1＝，x2＝3，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝. 解法二　Δ＝100－36＝64＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示． |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD| ＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝. 答案　 　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． [自主解答]　椭圆的方程可化为＋＝1， 其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 所以设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)． 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，所以p＝6. 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x. 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. [规律方法] 待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [触类旁通] 1．若抛物线y2＝mx(m＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 解析　由x2＋y2－4x－5＝0， 得(x－2)2＋y2＝9， 所以圆心为(2,0)，半径为3. y2＝mx(m＞0)的准线方程为x＝－. 由已知得2＋＝3，解得m＝4， 所以抛物线的准线方程为x＝－1， 标准方程为y2＝4x. 　(1)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B.1 C. D.2 (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． [自主解答]　(1