第3章 3.3.1 抛物线及其标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 学业标准 素养目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点) 通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养. [教材梳理] 导学1 抛物线的定义 　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？ [提示]　连接两定点所得线段的垂直平分线． 　平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？ [提示]　一条直线． ◎结论形成 抛物线的定义 (1)定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． (2)焦点：点F叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l叫做抛物线的准线． 导学2 抛物线的标准方程 　二次函数的解析式是什么？其图象是什么？ [提示]　二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它的图象是抛物线． 　结合求椭圆、双曲线标准方程的步骤，应怎样求抛物线的标准方程？ [提示]　建系、设点、列式、化简． ◎结论形成 抛物线的标准方程 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ p的几何意义 焦点到准线的距离 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数．(　　) (2)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.(　　) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(　　) (4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) 解析　(1)×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象． (2)√.由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y. (3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确． (4)×.只有当点F不在直线l上时，满足条件的点的轨迹才是抛物线． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B.抛物线 C．直线 D.双曲线 答案　B 3．以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是(　　) A. x＝4y2 B. y＝4x2 C. x2＝4y D. y2＝4x 解析　因为抛物线焦点为F(1,0)，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.故选D. 答案　D 4．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是________． 解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3. 答案　y＝3 　(1)方程＝|x－y＋3|表示的曲线是(　　) A．圆　　　　　　 B.椭圆 C．双曲线 D.抛物线 (2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝－16x B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0) [自主解答]　(1)原方程变形为＝，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线． (2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故点P的轨迹方程为y2＝16x. [答案]　(1)D　(2)C [规律方法] 抛物线定义的应用要点 (1)根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷； (2)抛物线标准方程中的p的几何意义是焦点到准线的距离； (3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题． [触类旁通] 1．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B.y2＝－8x C．y2＝4x D.y2＝－4x 解析　由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为